Да се намерят ъглите

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB и ъгъл срещу основата 20[tex]^\circ[/tex]. Точка D е от бедрото BC, така че [tex]\angle[/tex]BAD е 50[tex]^\circ[/tex], а точка E е от AC, така че [tex]\angle[/tex]ABE е 60[tex]^\circ[/tex]. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle[/tex]DEC.

[ammornil]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB и ъгъл срещу основата 20[tex]^\circ[/tex]. Точка D е от бедрото BC, така че [tex]\angle[/tex]BAD е 50[tex]^\circ[/tex], а точка E е от AC, така че [tex]\angle[/tex]ABE е 60[tex]^\circ[/tex]. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle[/tex]DEC.

$\\[6pt]$

Screenshot 2026-04-13 082841.png (59.05 KiB) Прегледано 127 пъти

$\\[6pt]$Интересно ми е откъде е тази задача, ако може да спорелите, моля.$\\[12pt]\triangle{ABC}, \quad AC=BC, \quad \angle{ACB}= 20^{\circ} \\ D \in{BC}, \quad \angle{BAD}= 50^{\circ} \\ E\in{AC}, \quad \angle{EBA}= 60^{\circ} \\[6pt] \angle{CED}=?, \angle{EDC}=? \\[12pt] \triangle{ABC}: \quad AC=BC \Rightarrow \angle{CAB}= \angle{CBA}= \dfrac{180^{\circ}- 20^{\circ}}{2}= 80^{\circ} \\[6pt] \triangle{ABD}: \quad \begin{cases} \angle{BAD}= 50^{\circ} \\ \angle{ABD}= 80^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BDA}= 50^{\circ} \Rightarrow AB=BD \\[6pt] \triangle{ABE}: \quad \angle{AEB}= 180^{\circ}- (\angle{BAE} +\angle{ABE})= 180^{\circ}- (80^{\circ} +60^{\circ})= 40^{\circ} \\[6pt] \angle{BEC}= 180^{\circ} -\angle{AEB}= 180^{\circ}- 40^{\circ}= 140^{\circ} \\[6pt] \triangle{AEC}: \quad \angle{CBE}= 180^{\circ}- (\angle{BEC} +\angle{BCE})= 180^{\circ} -(140^{\circ} +20^{\circ})= 20^{\circ} \Rightarrow BE= EC\\[6pt]$Построяваме $D'$, такава че $\begin{cases} \angle{DBD'}= 60^{\circ} \\ DB = BD' \end{cases}$. Ще докажем, че $D'$ лежи на $AC$.$\\[6pt] \angle{D'BA}= \angle{DBA}- \angle{DBD'}= 20^{\circ} \\[6pt] \begin{cases} BD'= BD \\ AB= BD \end{cases} \Rightarrow BD'= AB \\[6pt] \triangle{ABD'}: \quad \begin{cases} AB= D'B \\ \angle{ABD'}= 20^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BAD'} = \angle{BD'A}= 80^{\circ} \\[6pt] \begin{cases} \angle{BAC}=80^{\circ} \\ \angle{BAD'}= 80^{\circ} \\ \angle{DBD'}< \angle{DBA} \end{cases} \Rightarrow D' \in{AC} \\[6pt] \triangle{DBD'}: \quad \begin{cases} BD= BD' \\ \angle{DBD'}= 60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \angle{DD'B}= \angle{D'DB}= 60^{\circ} \\ BD'= D'D= BD \end{cases} \\[6pt] \angle{DD'E}= 180^{\circ}- (\angle{AD'B} +\angle{BD'D})= 40^{\circ} \\[6pt] \angle{EBD'}= \angle{DBD'}- \angle{DBE}= 40^{\circ} \\[6pt] \triangle{BD'E}: \quad \angle{D'BE}= \angle{D'EB}= 40^{\circ} \Rightarrow BD'= D'E \\[6pt] \triangle{DD'E}: \quad \begin{cases} D'E= BD' \\ D'D= BD' \end{cases} \Rightarrow D'E= DD' \Rightarrow \angle{DED'}= \angle{EDD'}= \dfrac{180^{\circ}- \angle{DD'E}}{2}= 70^{\circ} \\[6pt] \angle{DEC}= 180^{\circ}- \angle{D'ED}= 180^{\circ}- 70^{\circ}= 110^{\circ} \\[6pt] \triangle{DEC}: \quad \begin{cases} \angle{ECD}= 20^{\circ} \\ \angle{DEC}= 110^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{CDE}= 50^{\circ}$ $$ \text{ОТГ.}\quad \triangle{CDE}: 20^{\circ}, 50^{\circ}, 110^{\circ} $$