Квадрат

[Darina73]

Задачата е давана на олимпиада за 7 клас .
Ученици ,как ще се справите ?

Даден е квадрат ABCD .Точка N е вътрешна на квадрата и такава ,че [tex]\triangle[/tex]ABN е правоъгълен тр-к с хипотенуза AB .
[tex]S_{ABN }[/tex]=1
Точките E,F,M са вътрешни на квадрата и разположени така ,че [tex]\triangle[/tex]BCE[tex]\cong \triangle[/tex]CDF[tex]\cong \triangle[/tex]DAM[tex]\cong \triangle[/tex]ABN .
MNEF e квадрат с лице 4 .
Намерете [tex]\angle[/tex]BAN .

[ammornil]

$15^{\circ}$ или $75^{\circ}\\[12pt] $

Screenshot 2026-05-03 102545.png (57.48 KiB) Прегледано 176 пъти

$\\[12pt]$ Но не виждам решение със знания за седми клас.

[Гост]

Може да се докаже, че във всеки от малките триъгълници височината към хипотенузата е [tex]\frac{1}{4}[/tex] от хипотенузата. Оттам нататък може да довършим с известния факт, че в правоъгълен триъгълник височината към хипотенузата е [tex]\frac{1}{4}[/tex] от нея точно тогава, когато триъгълникът има ъгъл 15[tex]^\circ[/tex] (аз самият съм изучавал тази основна задача в 7 клас)

[Darina73]

Оригиналният чертеж съвпада с десния чертеж на ammorniI .
Отговорът е 15[tex]^\circ[/tex]
Потърсете алгебрично решение .

[Darina73]

Нека AB=a и NH=h (височина към хипотенузата AB )
[tex]S_{ABN }[/tex]=1 ; [tex]\frac{ah}{2}[/tex]=1 (1)

[tex]S_{ABCD }[/tex]=4+4.1 ;[tex]a^{2 }[/tex]=8 (2)
(Умножаваме (1) уравнение по 8) 4ah=8 (3)

От (2) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] 4ah=[tex]a^{2 }[/tex] ;h=[tex]\frac{a}{4}[/tex] и тогава [tex]\angle[/tex]BAN=15[tex]^\circ[/tex]