лесна 8ми клас

[martin123456]

Нека [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex], [tex]x \in [2,3][/tex], [tex]x-5y+2=0[/tex]. Докажете, че [tex]\sqrt{(x+2)^2+2y^2} + \sqrt{(x-3)^2+2(y-1)^2}[/tex] е константа.

[marti1295]

Аз като че ли реших задачата?И тъй като няма много от моята възрастова група, ще си позволя да попитам дали е правилен метода, по който аз я реших.Първо намирам интервала, в който у варира.След това за израза, давам първо най-малките стойности на х и у, после правя същото и с най-големите и като пресметна получавам къде варира изразът.След като открия, че той варира в [tex](\sqrt{27};\sqrt{27})[/tex], мога да твърдя, че изразът е равен на [tex]\sqrt{27}[/tex] ,а оттам и че е константа, нали?
Ако е така, ще напиша пълното решение.

[martin123456]

да, прав си, но напиши и решението да го видим, за да сме сигурни че е решена

[marti1295]

Означаваме израза [tex]\sqrt{(x+2)^2+2y^2} + \sqrt{(x-3)^2+2(y-1)^2}[/tex] с [tex]A[/tex].
[tex]x\in[2;3] \Rightarrow[/tex] като заместим [tex]x[/tex]с [tex]2[/tex]в уравнението ще получим най-малката стойност, която [tex]y[/tex]може да приема:[tex]2-5y+2=0[/tex], т.е [tex]y=\frac{4}{5 }[/tex] .Заместваме и [tex]x[/tex]с [tex]3[/tex]- така получаваме най-голямата стойност на [tex]y[/tex]: [tex]3-5y+2=0[/tex], т.е [tex]y=1 \Rightarrow y \in [\frac{4}{5 };1][/tex].Получаваме, че [tex]A[/tex]ще има най-малка стойност за [tex]x=2[/tex] и [tex]y=\frac{4}{5 }[/tex] и най-голяма за [tex]x=3[/tex] и [tex]y=1[/tex], т.е [tex]A\in[ \sqrt{(2+2)^2+2.(\frac{4}{5 }) ^2} + \sqrt{(2-3)^2+2(\frac{4}{5 } -1)^2};\sqrt{(3+2)^2+2.1^2} + \sqrt{(3-3)^2+2(1-1)^2}][/tex].След пресмятане и опростяване получаваме, че [tex]A\in[ \frac{4}{5 }\sqrt{27} +\frac{1}{5 }\sqrt{27} ;\sqrt{27}+\sqrt{0}][/tex], което е еквивалентно на[tex]A\in [\sqrt{27};\sqrt{27}][/tex] [tex]\Rightarrow A=\sqrt{27}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] изразът [tex]A[/tex]e константа.

[martin123456]

да