2.11^x+1=3^y

[1089]

[tex]2.11^x+1=3^y;x,y\in N[/tex]

[allier]

Ако [tex]11/3^{n}-1[/tex], то 5/n. Оттам нататък е лесно, превърляш единицита вдясно, разлагаш и ако y има прост делител p, различен от 5, то [tex]3^{p}-1[/tex] не може да се дели на 11. Остава да се провери какво става, ако y е точна степен на 5.

[1089]

ако y има прост делител p, различен от 5, то [tex]3^{p}-1[/tex] не може да се дели на 11.

това как помага?

[allier]

[tex]3^p-1/3^y-1=2.11^x[/tex]

[someone]

Ето едно елегантно решение на задачата:
Щом [tex]2.11^{x}[/tex] дели [tex]3^{y} - 1[/tex], то [tex]5[/tex] дели [tex]y[/tex] (до тук, надявам се, повечето решавали задачата са стигнали)
[tex]=> y = 5k[/tex] ([tex]k[/tex] - eстествено)
[tex]=> 2.11^{x} = 3^{5k} - 1 = { (3^{k}) } ^ { 5 } - 1 ^ { 5 }[/tex]
Използваме тъждеството [tex]a^{5} - b^{5} = (a - b)(a^{4} + a^{3}b + a^{2}b^{2} + ab^{3} + b^{4})[/tex]
[tex]=> 2.11^{x} = (3^{k} - 1) ( 3^{4k} + 3^{3k} + 3^{2k} + 3^{k} + 1)[/tex]
Да положим [tex]a = 3^{k}[/tex]
[tex]=> 2.11^{x} = (a - 1)(a ^ {4} + a^{3} + a^{2} + a + 1)[/tex]
Да означим с [tex]d =[/tex]НОД [tex](a - 1, a ^ {4} + a ^ {3} + a^ {2} + a + 1)[/tex]
[tex]a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 = a ^ {4} - 1 + a^{3} - 1 + a ^ { 2} - 1 + a - 1 + 5[/tex]
Очевидно [tex]a - 1 / a^{4} - 1 + a^{3} - 1 + a^{2} - 1 + a - 1 => d / a^{4} - 1 + a^{3} - 1 + a^{2} - 1 + a - 1[/tex]
но [tex]d / a^{4} + a ^ {3} + a ^{2} + a + 1 => d / 5 => d = 1[/tex] или [tex]d = 5[/tex]
В нашия случай очевидно е невъзможно [tex]d = 5[/tex] тъй като [tex](a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 ) = 2.11^{x}[/tex]
[tex]=> d = 1[/tex]
[tex]=> 3^{k} - 1 = 2[/tex] и [tex]3^{4k} + 3^{3k} + 3^{2k} + 3^{k} + 1 = 11 ^ {x}[/tex]
От първото равенство намираме [tex]k = 1[/tex] тоест [tex]y = 5[/tex] а от второто [tex]x = 2[/tex]
Окончателно единствено решение на задачата е двойката [tex](2, 5)[/tex]