Успоредник?

[ganka simeonova]

Не знам, дали и е точно тук мястото на тази задача, но.. Нека е само за 8-класници

Даден е остроъгълен триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex], с височини [tex]AD\bot CB; CF\bot AB[/tex], като Н е пресечната им точка.
Нека [tex]A_1[/tex] e среда на [tex]AH[/tex], a [tex]C_1[/tex] e среда на [tex]CH[/tex].

Нека т. О е вътрешна за триъгълник АВС, такава , че [tex]AO=BO=CO[/tex] и перпендикулярите спуснати от О към АВ и ВС са [tex]OP[/tex]и [tex]OQ[/tex]

Докажете, че [tex]A_1PQC_1[/tex] е успоредник.

[amsara]

AO=BO=CO по условие
=> точка О е пресечната точка на трите симетрали
=>P-среда на AB и аналогично Q-среда на BC
Свързваме Н с В
▲ABH, A1P-средна отсечка
=>A1P II BH и A1P=BH/2
▲CBH, C1Q-средна отсечка
C1Q II BH и C1Q=BH/2
=>A1P=C1Q=BH/2 и A1P II C1Q (1)
▲AHC, A1C1-Средна отсечка
=>A1C II AC и A1C1=AC/2
▲ ABC, PQ-средна отсечка
PQ IIAB, PQ=AB/2
=>A1C1 II PQ и са равни помежду си (2)
=>от 1 и 2 че A1PQC1 -успоредник

[ganka simeonova]

AO=BO=CO по условие
=> точка О е пресечната точка на трите симетрали
=>P-среда на AB и аналогично Q-среда на BC
Свързваме Н с В
▲ABH, A1P-средна отсечка
=>A1P II BH и A1P=BH/2
▲CBH, C1Q-средна отсечка
C1Q II BH и C1Q=BH/2
=>A1P=C1Q=BH/2 и A1P II C1Q (1)
▲AHC, A1C1-Средна отсечка
=>A1C II AC и A1C1=AC/2
▲ ABC, PQ-средна отсечка
PQ IIAB, PQ=AB/2
=>A1C1 II PQ и са равни помежду си (2)
=>от 1 и 2 че A1PQC1 -успоредник

Дори само (1) е достатъчно условие. Двойка с/улежащи страни сa успоредни и равни