Докажете x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1);

[1089]

[tex]x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1); x,y\in Z[/tex]

[allier]

Така като го гледам е линейно по xy. Така че въведи нови неизвестни x+y и xy и изрази xy чрез x+y. След това ще останат елементарни делимости.

[someone]

Предполагам думата "докажете" е погрешно написана, тъй като това е уравнение и може само да бъде решено.
Ето и едно хубаво решение:
Ясно е, че уравнението е равносилно с [tex](x+y)(x^{2}+y^{2})=8(x^{2}+y^{2}+xy+1)[/tex]
Полагаме [tex]x+y=a[/tex] и [tex]xy=b[/tex] => [tex]x^{2}+y^{2}=a^{2}-2b[/tex]
Преобразуваме уравнението във вида [tex]a(a^{2}-2b)=8(a^{2}-b+1)[/tex], тоест [tex]b=\frac{a^{3}-8a^{2}-8}{2a-8}=\frac{a^{2}}{2}-\frac{72}{2a-8}-2a-8[/tex] (делението извършваме по стандартния метод за деление на полиноми)
От това представяне очевидно можем да направим извода, че числото [tex]b[/tex] е цяло, тогава и само тогава когато числото [tex]\frac{a^{2}}{2}-\frac{72}{2a-8}[/tex] е цяло.
Нека [tex]a[/tex] e нечетно. => [tex]a=2k+1[/tex] ([tex]k \in Z[/tex]) => [tex]\frac{a^{2}}{2}=2k^{2}+2k+\frac{1}{2}[/tex]
=> За да бъде [tex]\frac{a^{2}}{2} - \frac{72}{2a-8}[/tex] цяло, трябва [tex]\frac{72}{2a-8}[/tex] да е от вида [tex]l+\frac{1}{2}[/tex] ([tex]l \in Z[/tex]) => [tex]72=(2a-8)(l+\frac{1}{2})[/tex] => [tex]72=(2k-3)(2l+1)[/tex], но това е невъзможно, тъй като дясната страна е нечетно число.
=> [tex]a[/tex] е четно
Тогава [tex]b[/tex] е цяло, когато [tex]\frac{72}{2a-8}[/tex] e цяло, тоест когато [tex]2a-8[/tex] дели [tex]72[/tex]
Имайки предвид и това, че [tex]2a-8[/tex] е кратно на [tex]4[/tex], получаваме че [tex]2a-8\in[/tex] { [tex]\pm4;\pm8;\pm12;\pm24;\pm36;\pm72[/tex]}
След непосредствена проверка на дванадесетте случая (напрактика всяка проверка се състои в намиране на [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] и решаване на квадратното уравнение [tex]x(a-x)=b[/tex], тоест не е чак толкова трудоемко) откриваме единствени решения [tex](2; 8)[/tex] и [tex](8; 2)[/tex] (надявам се да не съм сбъркал някъде в изчисленията и действително те да са единствените).

Ще се радвам да видя и вашите решения.