Само за 8-класници!

[ganka simeonova]

Едно и една хубава задачка, за подготовка за олимпиадата на 12.02
Даден е равнобедрен трапец:
[tex]ABCD(AB||CD; AD=BC); AC=AB+CD[/tex]; О- пресечна точка на диагоналите.
Ако точките [tex]F; P; Q[/tex] са среди съответно на [tex]OD; OA; BC[/tex],
докажете че [tex]\Delta FPQ[/tex] е равностранен.

[amsara]

Леле, 2 часа блъскане с тая задача и пак не съм сигурна, че е вярна
Толкова ми се спи виче, че ше се опитам накратко да напиша творенията си.
Нека М е среда на CD, N на AD , T на АВ, Ab=a, CD=b,AC=BD=d, AD=BC=c
MN - средна отсечка в ▲ ACD => MN=AC/2=d/2
MQ - средна отсечка в ▲BDC => MQ=BC/2=d/2
NQ-средна основа на трапеца => NQ=(a+b)/2=d/2
d/2=d/2=d/2 =>▲MNQ -равностранен
MNQ=NMQ=MQN=60°
нека S е пресечната точка на MQ & OC
▲DMFеднакъв на▲CMS. Излизат равностранни.
1.b/2=b/2
2.FDM=SCM=60°
3.DFM=CSM=60°от успоредника FOSM,който пък излиза успоредник заради средните отсечки по-горе.Доказва се лесно, че е и ромб.
=>FM=MC=b/2 =>▲FMC-равнобедрен
=>MFC=MCF=(180-FMC)/2= (180-120)/2=30°
=>BFC=BFM-30° =120-30=90°
=>▲BFC-правоъгълен
FQ-медиана => FQ=BC/2=c/2
Абсолюгно по аналогичен начин, като ползваме равностранния ▲NQT и горните сметки доказваме, че
▲BPC-правоъгълен
=>PQ-медиана => PQ=BC/2= c/2
FP- Средна отсечка в ▲AOD => FP=AD/2= c/2
=>PQ=FQ=FP=c/2
▲FPQ -равностранен

Не навсякъде детайлно съм разписвала, ама мисля, че става ясно. Дано в тоя късен час да не съм объркала половината букви.

[ganka simeonova]

Да. така е.