Общински кръг на олимпиадата по математика 2011

[Kamito]

Това са задачите от общинския кръг на националната олимпиада по математика, която се проведе днес, 12 февруари 2011г.
По-специално за 7 клас, област Варна.
________________________________________________________________________________________________

Зад.1/ Даден е многочленът [tex]B=x^3y+4xy^2-3x^2-8y[/tex].
a) Разложете многочлена В на множители
б) Намерете числовата стойност на многочлена В, ако [tex]x=2|a-1|-4|a-9|-6(a-6)[/tex]
при [tex]1\le a \le 9[/tex] , a [tex]y=\frac{2^{2n+3}-2^{2n-1}}{2^{2n+1}+2^{2n} }[/tex] .


Зад.2/ От град А за град В, разстоянието между които е 60 км, пътуват велосипедист и мотоциклетист. Скоростта на велосипедиста е [tex]20km/h[/tex] , а на мотоциклетиста 2,5 пъти по-голяма от скоростта на велосипедиста. Мотоциклетистът тръгнал от град А след велосипедиста, но двата пристигнали едновременно в В. На какво разстояние от А е бил велосипедистът в момента, в който е тръгнал мотоциклетистът? Колко време след тръгването на велосипедиста е тръгнал мотоциклетистът?


Зад.3/ Даден е тръгълник [tex]ABC[/tex] [tex]( \angle B>90^\circ )[/tex], c ъглополовяща [tex]CL ( L \in AB )[/tex] нa [tex]\angle ACB[/tex]. Ако [tex]\angle BLC[/tex] е равен на един от ъглите на триъгълник [tex]ABC[/tex] , намерете:
а) големините на [tex]\angle ACB[/tex] и [tex]\angle BAC[/tex], ако [tex]\angle ABC=126^\circ[/tex]
б) Ако височините [tex]BB_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] на триъгълник [tex]ABC( BB_1 \in AC, CC_1 \in AB)[/tex] се пресичат в точка [tex]H[/tex] и [tex]AP[/tex] и [tex]HK[/tex] са ъглополовящи на вътрешните ъгли на триъгълник [tex]ABH( P \in HB , K\in AB, AP\cap HK=O)[/tex] и [tex]\angle AOH=\alpha[/tex], изразете големината на [tex]\angle ACH[/tex] чрез [tex]\alpha[/tex].


________________________________________________________________________________________________________

Моето мнение е, че бяха сравнително лесни. Та, някой участвал ли е ? Как се представихте ?

[artur.balabanov]

И според мен бяха много лесни(8-ми клас съм). Ето темата за 8-ми клас, София:
1 задача: В правоъгълна координатна система Oxy са дадени точките А(а;0) и B(0;b), където:
[tex]a=2(sqrt {54} + sqrt {1,5})-sqrt {150} + (1- sqrt 6)^ 2 - sqrt{(-2)^ 6}[/tex]
[tex]b=sqrt{2+\sqrt{3}}.sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex]
а) Намерете линейната функция, чиято графика е правара АВ.(3 точки)
б) Постройте вектора [tex]\vec {OC}[/tex] , ако [tex]\vec{OC}=3\vec{OA}-2\vec{OB}[/tex] и докажете, че точка С лежи на правата АВ.(4 точки)
2 задача: Ъглополовящата на [tex]\angle ABD[/tex] в успоредника [tex]ABCD[/tex] песича диагонала [tex]AC[/tex] в точка [tex]P[/tex], а страната [tex]AD[/tex] - в точка [tex]M[/tex], като [tex]AP:PC=1:2[/tex].
а) Докажете, че правите [tex]BP[/tex] и [tex]BC[/tex] са перпендикулярни.(3 точки)
б) Ако [tex]N[/tex] е средата на [tex]CD[/tex] и [tex]BN =12[/tex]см, намерете дилжините на диагонала [tex]AC[/tex] и отсечката [tex]MN[/tex].(4 точки)
3 задача: От съд с вместимост 50 литра, пълен догоре с чист спирт, отлели известно количество и го допълнили с вода. След това отлели два пъти по-голямо количество от първия път и отново допълнили с вода. Колко литра спирт са отлели пърсия път, ако накрая в съда е останал спиртен разтвор с концентрация 12%.(7 точки)

[amsara]

artur.balabanov, виждам, че си от София.Аз вчера за жалост нямах възможността да отида на олимпиадата , тъй като точно тогава имах друг важен ангажимент и затова вечерта си я решавах в нас.Помниш ли си отговорите за сравнение или знаеш ли дали ги има някъде публикувани

1.1 f(x)=x+1
1.2 за построяване и доказване

2.1 за доказване (с медицентър Р)
2.2 AC=24 cm, MN= 12 cm

3. 20 литра

[artur.balabanov]

artur.balabanov, виждам, че си от София.Аз вчера за жалост нямах възможността да отида на олимпиадата , тъй като точно тогава имах друг важен ангажимент и затова вечерта си я решавах в нас.Помниш ли си отговорите за сравнение или знаеш ли дали ги има някъде публикувани

1.1 f(x)=x+1
1.2 за построяване и доказване

2.1 за доказване (с медицентър Р)
2.2 AC=24 cm, MN= 12 cm

3. 20 литра

Урааа!Значи на първата задача съм объркал а от глупост и невнимание и => съм объркал самата функция, но както и да е. На 1.а) накрая получих, [tex]\vec{AC} =-2\vec{AB}[/tex], което е достатъчно условие точките А, В и С да лежат на една права.
На 2.а) по същия начин го доказах(удвоих основата), а на б) получавам същите отговори. Според мен а) е много по-трудна от б), но защо тогава на б) са дали повече точки?!
3. Няма да я коментирам. Добре, де, ще кажа нещо и за нея . Отвратителна задача. Смятах като хамалин и накрая получих отвратително квадратно уравнение. Както и да е, и аз получавам 20 литра.
Знаеш ли колко ми трябват за следващия кръг

[amsara]

Е, не е чак толкова хамалско квадратното уравнение.
x^2-75x+1100=0

На следващ кръг минават тези, които имат 16 или повече точки.Поне така чух да казва госпожата в училище.Яд ме е малко, че не можах да отида вчера, но какво да се прави.

[amsara]

Ето така я реших трета
50литра общо - 50 литра спирт- 0 литра вода

50 литра общо - 50-y литра спирт - у литра вода
В проценти 90-х % спирт - х% вода

=>50x/100=y
50x=100y
x=2y%

При второто преливане преливат 2у сплав.От нея
2y.2y/100 е вода =>4y^2/100=y^2/25 от прелятото е вода
Значи остава y - y^2/25 =(25-y^2)/25

=> [tex]\frac{25-y^2}{25 }+2y=88%.50[/tex]
[tex]y^2-75y+1100=0[/tex]

Единият отговор 55 литра отпада, защото не можем да прелеем 55 като имаме 50.
Значи остава 20 литра.

[artur.balabanov]

Ами при мен x беше количеството спирт, което сме отлели първият път, но в проценти. И уравнението ми беше:
[tex]x^ 2 -150x + 4400 = 0[/tex] И за малко даго смятам с несъкратената формула(добре, че се сетих, че има и съкратена ) и дискриминантата ми беше гадна. От уравнението имах 2 корена [tex]x_ 1=40[/tex] и [tex]x_2 =110[/tex], но 110 е недопустима стойност, защото работих в проценти, и накрая си получих 20 литра. Задачата не ми хареса, защото е безкарайно скучна - само правиш уравнения и ги решаваш, никакъв мисловен процес. Това ако не е хамалогия, не знам...

[amsara]

Имах предвид ,че сметките при мен не бяха кой знае колко хамалски.Само толкова.А че иначе задачата не е интересна въобще, с това съм съгласна.На мен лично най-много ми хареса първото подусловие на втора задача.

[artur.balabanov]

Аз попринцип мразя векторите, но с тази задача се справих. На 2-ра задача а) също беше много интересна.