Задача от Пролетен турнир за 8 клас

[someone]

Ето една интересна задача от пролетния турнир през 2003 година за 8 клас:
Да се намери най-малкото цяло положително число m, за което [tex]2^{2000}[/tex] дели [tex]2003^m[/tex] - [tex]1[/tex]
Ще се радвам, ако някой я реши, да си сверим отговорите, тъй като нямам къде да проверя дали съм я решил правилно.
Благодаря предварително!

[martin123456]

[tex]\varphi(2^{2000})=2^{1999}[/tex] и значи според теоремата на Ойлер [tex]2003^{2^{1999}} \equiv 1 \pmod{2^{2000}}[/tex]. Най - малкото [tex]m[/tex], за което [tex]2003^m \equiv 1 \pmod{2^{2000}}[/tex] значи е делител на [tex]2^{1999}[/tex]. Можем да напишем [tex]m=2^n[/tex], [tex]n \le 1999[/tex].
Тогава [tex]2003^{2^n}-1=(2003^{2^{n-1}}+1)(2003^{2^{n-1}}-1)=(2003^{2^{n-1}}+1)(2003^{2^{n-2}}+1)(2003^{2^{n-2}}-1)[/tex][tex]=\ldots = (2003^{2^{n-1}}+1)(2003^{2^{n-2}}+1)\ldots (2003^2+1)(2003+1)(2003-1)[/tex]. Всяко от множителите без последните 2 се дели на 2, но не и а 4 и така получаваме че цялото произведение се дели най-много на [tex]2^{n-1+2}=2^{n+1}[/tex]. Оттук излиза че [tex]n+1=2000 \Rightarrow n = 1999[/tex].

[someone]

Благодаря за отговора!
Имаш обаче една малка грешка: произведението на последните два множителя е кратно не само на 4, но и на 8(но не и на 16). Това е така, защото предпоследният множител 2004 е кратен на 4, но не на 8, а последният 2002 - на 2, но не на 4. Следователно най-високата степен на двойката, която дели израза, е [tex]2^{n-1+3}=2^{n+2}[/tex] (а не [tex]2^{n-1+2}[/tex]), което води до [tex]n=1998[/tex].
Иначе решението ти е почти идентично с авторовото, което намерих след пускането на темата (тъй като видях, че не се очертава някой да ми отговори скоро). Много ми харесва начина, по който доказваш, че [tex]m[/tex] е степен на двойката. В авторовото решение е доказано по различен начин, но този е по-оригинален. Прилагайки теоремата на Ойлер в тази задача, ти ми даде идея, с която довърших решението на една друга задача, по която мислех от известно време (Национален кръг 2011, задача 8.3, пуснал съм решението ѝ в темата "Национален кръг на Олимпиадата по математика" в същия раздел). Благодаря.

[martin123456]

Радвам се, че съм помогнал