2 хубави задачи с триъгълник и квадрати

[kucheto]

1. Външно на страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] на триъгълника [tex]ABC[/tex] са построени квадратите [tex]ACDE[/tex] и [tex]BCFG[/tex]. Нека центровете им са означени съответно с [tex]H[/tex] и [tex]I[/tex]. Средата на [tex]AB[/tex] означаваме с [tex]M[/tex].

Да се докаже, че: [tex]MH=MI;\ MH\bot MI[/tex].

[kucheto]

2. Външно на страните [tex]AB,\ BC,\ CD,\ DA[/tex] на изпъкналия четириъгълник [tex]ABCD[/tex] са построени квадратите [tex]ABEF,\ BCGH,\ CDIJ,\ DAKL[/tex]. Нека центровете им са означени съответно с [tex]M,\ N,\ O,\ P[/tex].

Да се докаже, че: [tex]MO=NP;\ MO\bot NP[/tex].

[teo9898]

1.Нека N-среда на AC и P -среда на BC,намираме,че триъгълниците MHN и MIP са еднакви(Ако означим BC=a,AC=b,намираме със средни отсечки,че MN=a/2 и MP=b/2, лесно се намира и че NH=b/2 и PI=a/2,и да означим ъгъл ACB=γ =>MPI=MNH=90°+γ)От еднаквите триъгълници следва,че ъгъл MHN=IMP=α, и че ъгъл HMN=MIP=β, от триъгълника MNH забелезваме ,че α+β+γ=90°,но ъгъл HMI=α+β+γ=>ъгъл HMI=90°=>MH e перпендикуряна на MI.
От еднаквите триъгълници следва и че MH=MI.