една задачка от втори модул са външно оценяване

[maivro]

Даден е равнобедрен правоъгълен триъгълник ΔABC ( C = 90°). Върху катета BC е
избрана произволна вътрешна точка M, a върху продължението на катета AC е взета
точка N така, че C е между A и N и CN = CM. Правата AM пресича отсечката BN в
точка P. Докажете, че AP е височина в ΔNAB.
Ако CBN = 30°, BM=m и CM=n,
пресметнете AP.

[amsara]

Даден е равнобедрен правоъгълен триъгълник ΔABC ( C = 90°). Върху катета BC е
избрана произволна вътрешна точка M, a върху продължението на катета AC е взета
точка N така, че C е между A и N и CN = CM. Правата AM пресича отсечката BN в
точка P. Докажете, че AP е височина в ΔNAB.
Ако CBN = 30°, BM=m и CM=n,
пресметнете AP.

▲ABC-правоъгълен и равнобедрен
=> CAB=CBA=(180-90)/2=45°
AC=BC=x; CM=CN=y
▲CAM еднакъв на ▲CBN
1). x=x
2). y=y
3). 90°=90°
=>CAM=CBN=α
=>MAB=45-α
▲ABM=> 45-α + 45 +AMB=180°
AMB=90+α - външен за триъгълник MBP
=>MPB+α=90+α
MPB=90°
=>AP=h
▲AMN-правоъгълен с ъгъл 30°
=>CM=AM/2
=>n=AM/2 <=>AM=2n
▲PBM-правоъгълен с ъгъл 30°
=>MP=BM/2=m/2
=>AP= 2n+ m/2 =(4n+m)/2

[maivro]

браво и мерси много за бързия и верен отговор