Да се докаже, че ако x+y+z=0, то...

[atnast]

Да се докаже, че ако [tex]x+y+z=0[/tex], то [tex](x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2(x^{4}+y^{4}+z^{4})[/tex]

[artur.balabanov]

От [tex]x+y+z=0[/tex] имаме, че [tex]x^2+y^2+z^2=-(2xy+2yz+2zx)[/tex]. Повдигаме и това не квадрат:
[tex]x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2=4x^2y^2+4y^2z^2+4z^2x^2+8x^2yz+8xy^2z+8xyz^2[/tex]
[tex]x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+8xyz(x+y+z)[/tex], но [tex]x+y+z=0[/tex]
[tex]\Right x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2[/tex]
Добавяме и в двете страни по [tex]x^4+y^4+z^4[/tex]:
[tex]x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2=2(x^4+y^4+z^4)[/tex]
[tex]( x^2+y^2+z^2)^2=2(x^4+y^4+z^4)[/tex]