Интересни задачи от Турнир на градовете vol.2

[alexander_ivanov]

XXX Международен турнир на градовете,Тренировъчен вариант,Есенен тур 4 задача

Дадени са три различни естествени числа, едно от които е равно на полусбора на другите 2. Възможно ли е произведението на тези три числа да е точна 2008-а степен на естествено число?

ХХХ Международен турнир на градовете, Осовен Вариант, Есенен тур 5 задача

Дадени са положителните числа [tex]a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}.[/tex] Известно е, че [tex]a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}[/tex] ≤ [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Докажете, че [tex](1+a_{1})(1+a_{2}) . . . (1+a_{n})[/tex] ≤ [tex]2[/tex]

П.С: Имам една молба за 2-рата задача - ако някои може да я реши по метода на математическата индукция да предостави решението си, защото нямам си и на идея как ще стане. (това не означава че ако имате решение, но не по метода на математическата индукция да не поствате решението си)

[martin123456]

1
Да изберем 3 числа [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] и [tex]x=\frac{y+z}{2}[/tex].
Нека [tex]P = xyz[/tex]. Тогава ако разглеждаме числата [tex]xP^{2007}[/tex], [tex]yP^{2007}[/tex], [tex]zP^{2007}[/tex] имаме че тяхното произведение е [tex]P^{2008}[/tex] и [tex]\frac{yP^{2007}+zP^{2007}}{2}=P^{2007}.\frac{y+z}{2}=xP^{2007}[/tex]. Значи може.

[ptj]

ХХХ Международен турнир на градовете, Осовен Вариант, Есенен тур 5 задача

Дадени са положителните числа [tex]a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}.[/tex] Известно е, че [tex]a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}[/tex] ≤ [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Докажете, че [tex](1+a_{1})(1+a_{2}) . . . (1+a_{n})[/tex] ≤ [tex]2[/tex]

П.С: Имам една молба за 2-рата задача - ако някои може да я реши по метода на математическата индукция да предостави решението си, защото нямам си и на идея как ще стане. (това не означава че ако имате решение, но не по метода на математическата индукция да не поствате решението си)

Неравенство между средно аритметично и средно геометрично:
[tex]\frac{(1+a_{1})+(1+a_{2})+ . . . +(1+a_{n})}{n } \ge \sqrt[n]{(1+a_{1})(1+a_{2}) . . . (1+a_{n})}[/tex]

[tex]1+\frac{a_{1}+a_{2}+ . . . +a_{n}}{n } \ge \sqrt[n]{(1+a_{1})(1+a_{2}) . . . (1+a_{n})}[/tex]

[tex]\sqrt{\left(1+ \frac{1}{2n } \right)^{2n}} = \left(1+ \frac{1}{2n } \right)^n\ge \left(1+ \frac{a_{1}+a_{2}+ . . . +a_{n}}{n } \right)^n \ge(1+a_{1})(1+a_{2}) . . . (1+a_{n})[/tex]

Редицата [tex]\sqrt{\left(1+ \frac{1}{2n } \right)^{2n}}[/tex] е монотонна и клони към [tex]\sqrt{e}<1.65[/tex] .

П.П. По принцип в подобни задачи граничните случаи често са при равенство на елементите.

[mkmarinov]

Редицата [tex]\sqrt{\left(1+ \frac{1}{2n } \right)^{2n}}[/tex] е монотонна и клони към [tex]\sqrt{e}<1.65[/tex] .

Само че задачата е за седми-осми клас.

[ptj]

Освен да ползва: при [tex]n\ge1[/tex] и [tex]n\in N[/tex] е вярно [tex]\left(1+\frac{1}{n }\right)^n<3[/tex] .

Тогава [tex]\left(1+\frac{1}{2n }\right)^n<\sqrt{3} <2[/tex]

П.П. На състезание всичко е позволено, иначе не виждам как задачата може да се реши само със стандартния материал за 7-ми и 8-клас.

[martin123456]

Браво на ptj!

[mkmarinov]

Достатъчно е да се докаже с индукция, че [tex](1+\frac{1}{n})^n<4[/tex], което е еквивалентно на [tex]\sqrt{(1+\frac{1}{2n})^{2n}}<2[/tex] (което е търсеното в задачата).

[nikko]

Тогава ако разглеждаме числата [tex]xP^{2007}[/tex], [tex]yP^{2007}[/tex], [tex]zP^{2007}[/tex] имаме че тяхното произведение е [tex]P^{2008}[/tex]

Това пък как се получи? Не е ли произведението [tex]P^{3.2007+1}[/tex]?

[allier]

2007=669

[martin123456]

2007=669

имено

[nikko]

Така става.

[martin123456]

ok

[martin123456]

2007=669

http://www.youtube.com/watch?v=bsHV4i59RaM
.
.
.
http://www.youtube.com/watch?v=Z6JDgecyefE
Marsa
Jupitera
Plutona
Neptuna