Правилен петоъгълник

[ins-]

В правилния петоъгълник [tex]ABCDE[/tex] с [tex]F[/tex] е означена пресечната точка на диагоналите [tex]AD[/tex] и [tex]BE[/tex]. [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са средите на отсечките [tex]AE[/tex] и [tex]BF[/tex]. Да се докаже, че ако [tex]P[/tex] е петата на перпендикуляра от [tex]F[/tex] към страната [tex]AB[/tex], то [tex]MP \bot PN[/tex].

[Xixibg]

Оправи условието:
ВС не е диагонал.Може би имаш предвид ВЕ

[ins-]

Благодаря! Точно това имах в предвид.

[Xixibg]

Ето ти едно решение за 8ми клас.За 7ми не мога да измисля.
▲BPN - равнобедрен (▲BPF - правоъгълен по условие PN медиана към хипотенузата)
<ЕАВ=108 => <АВЕ=36 => <BPN=36.
<АРF=90 , <РАF=108-36=72 => <АFР=18
▲АЕF - равнобедрен (<АЕF=<ЕАF=36).Точка М среда на АЕ =>МF височина (медиана височина и ъглополовяща в равнобедрен ▲ съвпадат)
<АРF=<АМF=90 => около АРFМ може да се опише окръжност => <АFР=<АМР=18 (Отговарят на една и съща дъга АР)=> <АРМ=180-18-108=54
=> <МРN=90

[ins-]

Благодаря за решението! Задачата би могла да се реши без да се използват окръжности (с повечко сметки).
Когато "измислях" задачата, целта ми беше да измисля задача от средна отсечка, подходяща за общински кръг.
Постигнал ли съм тази цел?

Задачата по-сложна ли е от: "В триъгълник ABC медианата през върха А и ъглополовящата през върха B са перпендикулярни и се пресичат в точка P. Да се определи в какво отношение P дели ъглополовящата." ?

[Xixibg]

Средна отсечка в 7ми клас ли се учи?
Иначе нивото на трудност на задачата е прилично.Има допълнително построение и доста теория....
Ама все пак ще се опитам да измисля нещо с еднакви триъгълници та да стане хубава задача за 7 ми клас

[ins-]

а вписани ъгли? Решението е красиво. Не се бях сетил за нещо подобно. (средните отсечки се учеха навремето преди окръжностите). Сигурно може да се намери решение и за 7 клас, но не е по силите ми.

[Xixibg]

А горе долу на подобна тема попаднах на един интересен проблем.
Ако ти се занимава помисли малко.
Да се построи с линия и пергел равнобедрен трапец на който бедрата са равни на малката му основа а диагоналите на голямата му основа.
а)Ако е дадена малката основа = b
б)Ако е дадена голямата основа = а

[ins-]

Интересна задачка. Когато имам време - ще я "разцъкам". Сега съм се съсредоточил върху средните отсечки. Имам чувството, че не е лесно да се намерят "красиви" задачи от тях, които да не са много известни.

[Xixibg]

А относно красотата на решенията "Благодаря" .Едно време бях състезател по математика и имам някоя и друга награда за оригинални решения .

[ins-]

Хубаво е, че има хора, които са напред с математиката. Аз съм само "любител", но това не ми пречи да се забавлявам. За опитен състезател и човек с много опит задачата е "интуитивна", но за малко над "средностатистически ученик" ... кой знае.

[Xixibg]

Задачата по-сложна ли е от: "В триъгълник ABC медианата през върха А и ъглополовящата през върха B са перпендикулярни и се пресичат в точка P. Да се определи в какво отношение P дели ъглополовящата." ?

Относно тази задачка тя е сравнително сложна за 7 ми клас.Просто 7мо класниците трябва да се сетят за част от материала за 8 ми клас и да го докажат.Имам предвид формулата [tex]\frac{AL}{AB}=\frac{CL}{BC}[/tex]

Ето и доказателството:
Построяваме височини от точка L към АВ и АС.Нека петите им са съответно [tex]H_1[/tex] и [tex]H_2[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle BLH_1[/tex] еднакъв на [tex]\triangle BLH_2[/tex] по 2ри признак
1.<[tex]BH_1L[/tex]=<[tex]BH_2L[/tex]=90
2.<[tex]LBH_1[/tex]=<[tex]LBH_2[/tex] (LB - ъглополовяща)
3. LB - обща
=>[tex]LH_1=LH_2[/tex] като съответни елементи в еднакви триъгълници.
Нека [tex]h_b[/tex] е височината през върха В.
[tex]S\triangle ALB=\frac{AL.h_b}{2}=\frac{AB.LH_1}{2}[/tex]
[tex]S\triangle CLB=\frac{CL.h_b}{2}=\frac{BC.LH_2}{2}[/tex]
=>[tex]\frac{S\triangle ALB}{S\triangle CLB}=\frac{AL.h_b}{2}:\frac{CL.h_b}{2}=\frac{AB.LH_1}{2}:\frac{BC.LH_2}{2}[/tex]
=>[tex]\frac{AL}{CL}=\frac{AB}{BC}[/tex] => [tex]\frac{AL}{AB}=\frac{CL}{BC}[/tex]

И за да не останат читателите на форума в неведение ето на кратко решение и на тази задача.
Нека медианата през А е АМ и ъглополовящата през В е BL.
<АРВ=90 по условие , ВР ъглополовяща =>[tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен => [tex]AB=BM=x[/tex]
=>[tex]BC=2BM=2x[/tex]
Използваме формулата за ъглополовяща [tex]\frac{AL}{AB}=\frac{CL}{BC}[/tex] => [tex]\frac{AL}{x}=\frac{CL}{2x}[/tex] => [tex]AL=\frac{CL}{2}[/tex]
Нека [tex]S\triangle ABC=S[/tex]
[tex]AM[/tex] е медиана => [tex]S\triangle ABM=\frac{S}{2}[/tex]
[tex]AL=\frac{AC}{3}[/tex] => [tex]S\triangle ALB=\frac{1}{3}S[/tex]
[tex]S\triangle LCM=\frac{2}{3}S\triangle AMC=\frac{1}{3}S[/tex]
[tex]S\triangle ALM=\frac{1}{3}S\triangle AMC=\frac{1}{6}S[/tex]
[tex]S\triangle ALP=\frac{1}{2}S\triangle ALM=\frac{1}{12}S[/tex]
[tex]S\triangle APB=\frac{1}{2}S\triangle ABM=\frac{1}{4}S[/tex]
=>[tex]\frac{LP}{BP}=\frac{S\triangle ALP}{S\triangle ABP}=\frac{1}{12} : \frac{1}{4}=\frac{1}{3}[/tex]

[ins-]

Нормално е задачата да е сложна за 7-клас. Давана е на общински кръг през 1995-а за 8 клас. Официалното решение е със средна отсечка (през M се построява права, успоредна на BN). Формулата за ъглополовяща се учеше в 9 клас. Ако съответният ученик не е много напред с материала - няма почти никакви шансове да я реши по подобен начин. Иначе и аз мислех за подобно решение.

"Ако в триъгълник височината и медианата през два различни върха са равни - да се намери ъгълът между тях."
Би могла да се реши по много кратък начин с лица. Иначе и нея съм я виждал решена в сборник със средна отсечка.

Въпросът ми беше, ако задачата с петоъгълника и тази с медианата и ъглополовящата трябваше да се решат със средна отсечка - коя е по-трудна?

Ако някой знае хубава задача със средна отсечка, която не е много известна може да я пусне.