Равнобедрен триъгълник и равни отсечки

[ins-]

На бедрата AC и BC на равнобедрения триъгълник ABC са избрани съответно точките M и N, такива, че AM=CN. Петите на перпендикулярите от M и N към основата AB я пресичат съответно в точките P и Q. Да се докаже, че AP+BQ=PQ.

[ganka simeonova]

Хубава задача, точно за 7 клас:) Ще я ползвам:)

[ins-]

Благодаря! Случайно го забелязах. Исках да "видя" нещо друго.

[amsara]

[tex]\angle BAC = \angle ABC = \alpha => \angle ACB=180-2\alpha[/tex]
[tex]AM=CN=x => MC=BN=AC-x=BC-x=y[/tex]
Построяваме [tex]ML || BC, L \in AB =>\angle AML = 180-2\alpha[/tex]
В [tex]\Delta ALM => \angle ALM = 180-(\alpha +180-2\alpha)= \alpha[/tex]
[tex]\Delta AML[/tex]e равнобедрен.
[tex]=>ML=x[/tex]
[tex]ML || NC, ML=NC=x =>LNCM[/tex]е успоредник.
[tex]=>LN=CM=y ; LN=BN; \Delta LBN[/tex]e равнобедрен.
[tex]MP= h=m=l =>AP=PL=p[/tex]
[tex]NQ=h_{1}=m_{1}=l_{1} =>LQ=BQ=q[/tex]
[tex]AP+BQ=p+q; PQ=PL+LQ=p+q[/tex]
[tex]=>AP+BQ=PQ[/tex]

[ins-]

Браво за решението. Можеш да направиш и друго - да пуснеш височината от C към AB. И от M и N да построиш перпендикуляри към нея. Получават се много еднакви триъгълници.

[inveidar]

Тази задачка, ако се даде на състезание, ще я решат повече от половината от участниците!

[ins-]

Със сигурност. Не е нещо особено, но ми се стори забавно и затова я пуснах.