Турнир на градовете vol.3

[alexander_ivanov]

Тези задачи са от тазгодишното състезание:


4 задача от 4 ден на състезанието (мисля...)

Да се реши уравнението в естествени числа [tex](n+1)(2n+1)=10m^{2}[/tex]


5 задача от 5 ден на състезанието

Петър избрал естествено число a и го записал 2 пъти и получил числото b. Например а=17 => b=1717. За негова изненада се оказало, че числото b се дели на [tex]a^{2}[/tex]. Да се намерят всички възможни стойности на частното [tex]b:a^{2}.[/tex]

П.П.:
Сори че не пусках задачи но бях на въпросното състезание и решавах тези задачи така,че няма да пиша авторското решение (първо защото не е излязло) , а имам и собствено решение...
Между другото аз с моя отбор сме победители в състезанието за 7-ми клас. Ура за СМГ...

[martin123456]

1
Очевидно, [tex]2|(n+1) \Rightarrow n=2k-1,k\in \mathbb{N}[/tex].
Заместваме [tex]k(4k-1)=5m^2[/tex].
1) [tex]5|k\Rightarrow k=5l, l \in \mathbb{N} \Rightarrow l(20l-1)=m^2[/tex]. Но [tex](l,20l-1)=1 \Rightarrow l=n^2[/tex] и [tex]20l-1=s^2 \Rightarrow 20n^2-1=s^2 \Rightarrow s^2 \equiv -1 \pmod{4} \Rightarrow \empty[/tex]
2) [tex]5|(4k-1) \Leftrightarrow k\equiv -1 \pmod{5} \Rightarrow k=5l-1,l\in \mathbb{N} \Rightarrow (5l-1)(4l-1)=m^2[/tex]. Но [tex](5l-1,4l-1)=1\Rightarrow 5l-1=n^2, 4l-1=s^2 \Rightarrow 5s^2+1=4n^2 \Rightarrow (2n+1)(2n-1)=5s^2[/tex]
2.1) [tex]n \equiv 2 \pmod{5} \Rightarrow n=5r-3, r\in \mathbb{N}, (2r-1)(10r-7)=s^2[/tex]. Множителите са взаимнопрости. [tex]2r-1=r_1^2[/tex], [tex]10r-7=r_2^2[/tex]. [tex]2=5r_1^2-r_2^2[/tex].
2.1) [tex]n \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow n=5r-2, r\in \mathbb{N}, (2r-1)(10r-3)=s^2[/tex]. Множителите са взаимнопрости. [tex]2r-1=r_1^2[/tex], [tex]10r-3=r_2^2[/tex]. [tex]2=r_2^2-5r_1^2[/tex].
По модул 4 десните страни никога не са 2.
Значи няма решение.

[alexander_ivanov]

хубаво решение но мисля е нужно само да провериш n завършващо на 7 и n завършващо на 9 и естествено да док. , че n+1 и 2n+1 са взаимно прости

[martin123456]

2
Нека [tex]a[/tex] има [tex]k[/tex] цифри. Тогава [tex]b=a10^k+a[/tex].
Имаме [tex]a|(10^k+1)[/tex], [tex]\frac{b}{a^2}=\frac{10^k+1}{a}[/tex].
Да забележим,че [tex]10^{k-1}\le a <10^k \Rightarrow 1+\frac{1}{10^k}<\frac{10^k+1}{a}\le 10+\frac{1}{10^k}[/tex]. Значи възможни стойнсоти са в множеството [tex]\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}[/tex].
Също да забележим, че възможните стойности са сред делителите на [tex]10^k-1[/tex]. Оствава числото 7. Възможно е да се достигне, например при [tex]a=143[/tex]

[alexander_ivanov]

прав си но има и решение при а=1