Перпендикуляри и среда

[ins-]

Нека точката M е средата на страната AB на триъгълник ABC, а P е произволна точка, вътрешна за AB, различна от M. N и Q са съответно перпендикулярите от върховете A и B към CP. Да се докаже, че MN=MQ.

[inveidar]

[tex]CP[/tex] не трябваше ли да е ъглополовяща?

[ins-]

Не. Такова е условието. Намерих я в един сборник.

[inveidar]

Всъщност задачката се оказа много лесна. Продължаваме [tex]BQ[/tex] и [tex]NM[/tex] до пресичането им в точка [tex]K[/tex]. От еднаквоста на триъгълниците [tex]ANM[/tex] и [tex]BKM[/tex] следва [tex]NM=MK[/tex], а това означава, че [tex]QM[/tex] е медиана към хипотенузата в правоъгълния триъгълник [tex]KNQ[/tex], т.е [tex]KM=MN=MQ[/tex].

ssss.png (36.18 KiB) Прегледано 543 пъти

[inveidar]

Ето една подобна задача от едно списание:

Нека СH, СM и СL са съотвоетно височината, медианата и ъглополовящата към страната AB на триъгълника АВС. Докажете, че М, Н и петите на перпендикулярите, спуснати от A и B към СL лежат на една окръжност.

p.s Поправих буквичките!

[ins-]

Хубава задача. В кое списание е публикувана?
Ето и някои насоки за решение.

Скрит текст: покажи

Нека означим перпендикулярите от А и B към CL с P и Q, а пресечната точка на BQ с AC да е N.
Лесно се забелязва, че NQC и BQC са еднакви (по I-ви признак) => Q e среда на BN oт това и
М среда на AB => МQ - средна отсечка в ABN => <BMQ=<A *)
От <APC=90=<AHC => APHC - вписан => <CPH=<A **)
От *) **) => че споменатите точки лежат на една окръжност.

Задачата, която предложих беше от "средна отсечка" прилагам и една конструкция, която помага да се реши с нея.