Трудна система с модули и параметър

[marti1295]

Днес намерих две задачи, които особено ме заинтригуваха. Как ли не се опитвах, не става и не става. Задачите са за 8 клас.

Намерете стойностите на параметъра [tex]m[/tex], за които системата [tex]\begin{tabular}{|l}|x|+|y|=1\\y+2x=m \end{tabular}[/tex]:
а)има единствено решение; б)има решение; в)няма решение.

Намерете стойностите на параметър [tex]a[/tex], за които системата [tex]\begin{tabular}{|l}|x-2|+|y|=1\\y=ax \end{tabular}[/tex]:
а)има единствено решение; б)има решение; в)няма решение.

[pipi langstrump]

За първата:
[tex]\begin{tabular}{|l}|x|+|y|=1\\y+2x=m \end{tabular}[/tex]

Горното уравнение ни дава:
[tex]-1\le x \le 1[/tex]
[tex]-1\le y \le 1[/tex] , което можем да напишем и така:

[tex]-2\le 2x \le 2[/tex]
[tex]-1\le y \le 1[/tex]

Събираме неравенствата и получаваме [tex]-2 \le m \le 2[/tex]. Това са допустимите стойности за паламетъра.
Сега заместаме второто уравнение на системата в първото [tex]\rightarrow[/tex]

[tex]|x| + |m - 2x| = 1[/tex]
[tex]|m - 2x| = 1 - |x|[/tex] .
Първи случай [tex]x \ge 0[/tex]
Повдигаме на квадрат:

[tex](m - 2x)^2 = (1 -x)^2[/tex]
[tex](m-2x - 1 + x)(m-2x + 1 - x)=0[/tex]

[tex]x_1 = \frac{m+1}{3}[/tex]
[tex]x_2 = m-1[/tex]

Ако [tex]1 \le m < 2[/tex] уравнението има два корена. Ако [tex]-1<m\le 1[/tex], уравнението има само един корен. Ако [tex]-2<m<-1[/tex], уравнението няма корени. По същия начин при [tex]x<0[/tex] се убеждаваме, че при [tex]-2<m<-1[/tex] има два корена, при [tex]-1<m\le 1[/tex] - един, а при [tex]1 \le m < 2[/tex] - няма корени. Като обединим решенията получаваме, че уравнението има два корен при [tex]-2<m<2[/tex]. За да получим кога коренът става единствен приравняваме [tex]x_1 = x_2[/tex]. Получаваме [tex]m = \pm 2[/tex] при двата случая.

Отговор:
Ако [tex]-2<m<2[/tex] системата има два корена, ако [tex]m = \pm 2[/tex] системата има единствен корен, при други стойности на m системата няма решение.

[marti1295]

pipi langstrump, браво за решението. Нещо много са дълги и тромави тези задачи, дали няма нещо по-кратко и лесно или така се решават? Първата добре, ама втората май е още по трудна.
ПП:

Ако [tex]1 \le m < 2[/tex] уравнението има два корена. Ако [tex]-1<m\le 1[/tex], уравнението има само един корен. Ако [tex]-2<m<-1[/tex], уравнението няма корени.

Това как го установаваш?

[martin123456]

може с графика. графиката на 1вото уравнение е по обозрима.
[tex]x \geq 2 \cap y \geq 0[/tex]=>[tex]y=3-x[/tex]
[tex]x \geq 2 \cap y \leq 0[/tex]=>[tex]y=x-3[/tex]
[tex]x \leq 2 \cap y \geq 0[/tex]=>[tex]y=x-1[/tex]
[tex]x \leq 2 \cap y \leq 0[/tex]=>[tex]y=1-x[/tex]
значи графиката е както на чертежа
[tex]y=ax[/tex] е права през (0,0).
а) трябва да минава през (2,1) или през (2,-1). в първи случай 1=2a. и тн
b) трябва да пресича квадрата. значи [tex]-x/2 \leq ax \leq x/2[/tex] трява да е изпълнено за всяко x. ако а=0 системата неравенства не е изпълнена за всяко x. оконачателно [tex]-1/2 \leq a \leq 1/2[/tex]
в) трябва да не пресича квадрата, значи [tex]-x/2 > ax \cup ax > x/2[/tex]. [tex]-1/2 > a\cup a > 1/2[/tex]

[martin123456]

в) и двете уравнения имат решение, разгледани самостоятелно. за да няма системата решение е необх и достатъчно уравн ението [tex]|x-2|+|ax| =1[/tex] да няма. [tex]|x-2|+|a||x|=1[/tex]. значи нито едно от уравненията, които се получават след разкриване на модулите не трябва да има решение.
1) [tex]x \geq 2[/tex]=>[tex]x(1+|a|)=3[/tex] не трябва да има решение за дадения интервал. решенито му е [tex]x=\frac{3}{1+|a|}[/tex] и значи трябва [tex]\frac{3}{1+|a|} < 2[/tex], [tex]3<2+2|a|[/tex], [tex]|a| > 1/2[/tex]
2) [tex]x\leq 0[/tex]=>[tex]-x+2-|a|x=1[/tex], [tex]x(|a|+1)=1[/tex], [tex]x=\frac{1}{|a|+1} > 0[/tex], което е изпълнено
3)[tex]x \in [0,2][/tex]=>[tex]2-x+|a|x=1[/tex], [tex]x(|a|-1)=-1[/tex], [tex]\frac{1}{1-|a|} < 0[/tex] или [tex]\frac{1}{1-|a|} >2[/tex]. т.е. или [tex]|a|>1[/tex] или [tex]1>2-2|a|[/tex], [tex]2|a|>1[/tex]. в крайна сметка [tex]|a| > 1/2[/tex]

а)б) да разгледаме уравнението [tex]|x-2|+|a||x|=1[/tex]. ако то има решение x, то ако положим y=ax получаваме че следните уравнения имат решение (x,y): |x-2|+|y|=1 и y=ax. ето защо а) [tex]|x-2|+|a||x|=1[/tex] да има 1 реш б) [tex]|x-2|+|a||x|=1[/tex] да има решенеие
от в) имаме че [tex]x=\frac{3}{1+|a|}[/tex] за [tex]|a| \leq 1/2[/tex]. още имаме решенеие [tex]\frac{1}{1-|a|}[/tex] за [tex]|a|\leq 1/2[/tex].
=>b) [tex]|a|\leq 1/2[/tex]
=>a) трябва двете решения да съвпадат, значи [tex]3-3|a|=1+|a|[/tex], [tex]|a|=1/2[/tex]