Да се докаже, че не съществуват(x,y,z) x^2+y^2+z^2=2^9

[alexander_ivanov]

1.Да се док, че не съществуват три цели положителни числа [tex]x,y,z[/tex], за които е в сила равенството:[tex]x^2+y^2+z^2=2^9[/tex]
(Областен кръг на олимпиада по математика-16.04.2005)
2.Да се док., че за [tex]\forall x\in \mathbb{N}; a,b\in \mathbb{R}[/tex], то [tex]\exists M[/tex](полином),такъв че
[tex]a^n\pm b^n=(a\pm b)M[/tex]
3.Да се док.,че за [tex]\forall n\in \mathbb{N_0}[/tex] е в сила сравнението [tex]12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv 0 \pmod{133}[/tex]
4.Да се док., че е силила сравнението [tex]222^{555}+555^{222}\equiv 0 \pmod 7[/tex]
5.Да се намери ост. на [tex]5^{26}[/tex] при деление с [tex]7[/tex]
6Да се док., че за [tex]\forall n\in \mathbb{N_0}[/tex] е изпълнено сравнението:
[tex]37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n}\equiv 0\pmod{7}[/tex]

[Xixibg]

Нека [tex]x,y,z[/tex] са такива цели положителни числа ,че [tex]x^2+y^2+z^2=2^9[/tex]
[tex]1.x,y,z \equiv 1(mod2) ; =>x^2+y^2+z^2\equiv 1(mod2)[/tex] противоречие
[tex]x\equiv 1(mod2) ; y,z\equiv 0(mod2) ; =>x^2+y^2+z^2\equiv 1(mod2)[/tex] противоречие
[tex]x,y\equiv 1(mod2) ; z\equiv 0(mod2) ; =>x^2+y^2+z^2\equiv 2(mod4)[/tex] противоречие
[tex]=> x,y,z\equiv 0(mod2); =>x=2x_1,y=2y_1,z=2z_1 ; =>x^2+y^2+z^2=4(x_1^2+y_1^2+z_1^2)=2^9[/tex]
[tex]=>x_1^2+y_1^2+z_1^2=2^7[/tex]
Аналогично :[tex]x_1=2x_2,y_1=2y_2,z_1=2z_2 ; =>x_1^2+y_1^2+z_1^2=4(x_2^2+y_2^2+z_2^2)=2^7 ; =>x_2^2+y_2^2+z_2^2=2^5[/tex]
Аналогично :[tex]x_2=2x_3,y_2=2y_3,z_2=2z_3 ; =>x_2^2+y_2^2+z_2^2=4(x_3^2+y_3^2+z_3^2)=2^5 ; =>x_3^2+y_3^2+z_3^2=2^3[/tex]
Аналогично :[tex]x_3=2x_4,y_3=2y_4,z_3=2z_4 ; =>x_3^2+y_3^2+z_3^2=4(x_4^2+y_4^2+z_4^2)=2^3 ; =>x_4^2+y_4^2+z_4^2=2[/tex] , но[tex]x_4^2+y_4^2+z_4^2 \ge 3 =>[/tex] противоречие
[tex]=>[/tex] не съществуват цели положителни числа [tex]x,y,z[/tex] , за които [tex]x^2+y^2+z^2=2^9[/tex]

[strangerforever]

Да се докаже, че 7 | 37^{n+2} + 16^{n+1} + 23^n. Ще го докажем по индукция.

При n = 0 имаме [tex]7 | 37^2 + 16 + 1 \Leftrightarrow 7 | 2.3^2.7.11[/tex] - вярно.

Да допуснем, че за някое [tex]k \in \mathbb{N_0}[/tex] е вярно [tex]7 | 37^{k+2} + 16^{k+1} + 23^k[/tex].

Ще докажем, че [tex]7 | 37^{k+3} + 16^{k+2} + 23^{k+1}[/tex]:

[tex]37^{k+3} + 16^{k+2} + 23^{k+1} = 37.37^{k+2} + 16.16^{k+1} + 23.23^k[/tex]
[tex]= 37(37^{k+2} + 16^{k+1} + 23^k) - 21.16^{k+1} - 14.23^k[/tex], което очевидно се дели на 7. QED.

[Xixibg]

[tex]3.[/tex] Нека [tex]n=3k ; 12^{2n+1}=12.12^{6k}\equiv 12(mod133) ; 11^{n+2}=11^2.11^{3k}\equiv 121(mod133)[/tex]
[tex]=>12.12^{6k}+121.11^{3k}\equiv 0(mod133)[/tex]
Нека [tex]n=3k+1 ; 12^{2n+1}=12.12^{6k+2}=12^3.12^{6k}\equiv 132(mod133) ; 11^{n+2}=11^2.11^{3k+1}=11^3.11^{3k}\equiv 1(mod133)[/tex]
[tex]=>12^3.12^{6k}+11^3.11^{3k}\equiv 0(mod133)[/tex]
Нека [tex]n=3k+2 ; 12^{2n+1}=12.12^{6k+4}=12^5.12^{6k}\equiv 122(mod133) ; 11^{n+2}=11^2.11^{3k+2}=11^4.11^{3k}\equiv 11(mod133)[/tex]
[tex]=>12^5.12^{6k}+11^4.11^{3k}\equiv 0(mod133)[/tex]

[Xixibg]

[tex]4. 222\equiv 5(mod 7) ; 222^{6k+3}\equiv 6(mod 7) ; => 222^{555}\equiv 6(mod 7)[/tex]
[tex]555\equiv 2(mod 7) ; 555^{3l}\equiv 1(mod 7) ; => 555^{222}\equiv 1(mod 7)[/tex]
[tex]=> 222^{555}+555^{222}\equiv 0( mod 7)[/tex]

[Xixibg]

[tex]5. 26\equiv 2(mod 6) ; => 5^{26}\equiv 5^2(mod7) ; =>5^{26}\equiv 4(mod7)[/tex]

[Xixibg]

А втора нещо не ми е ясно условието...Какво е [tex]x[/tex]
[tex]a^2+b^2=(a+b).M ; M=?[/tex]

[alexander_ivanov]

да подсети ме, че не съм написал, че за [tex]n=2^k,k\in \mathbb{N}[/tex] и знак + м/у [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] няма разлагане с рационални коеф., а хикса трябваше да е ен, но....