Височина и равни отсечки

[ins-]

Нека P e произволна вътрешна точка от височината CD на остроъгълния триъгълник ABC, а М е средата на страната AB. Ако N e средата на PM, a А1 и B1 са средите на страните AC и BC - да се докаже, че A1N=B1N.

[Xixibg]

Готина задача.Да пиша ли решение или да оставя 7-мо класниците?

[ins-]

Ако никой не я реши (което ме съмнява) може да напишеш. Аз знам решение с материал за 8-ми клас. Току що го забелязах като факт. Малко е тегава, но другия път - може и да "измисля" нещо по-добро.

[Xixibg]

Аз пък имам решение на 5-6 реда с материал за 7-ми клас

[ins-]

Това е много хубаво. Можеш да го пуснеш като скрит текст или с малък шрифт.

[Xixibg]

Нека докажем един общоизвестен факт описан в учебника по математика за 8-ми клас.А именно:
Даден е [tex]\triangle ABC[/tex].Нека [tex]A_1,C_1[/tex] са съответно средите на страните [tex]BC,AB[/tex].Ще докажем че [tex]A_1C_1||AC ; A_1C_1=\frac{1}{2}AC[/tex].(Определение и свойство на средна отсечка в триъгълник).

Доказателство:
Нека [tex]Q[/tex] лежи на продължението на [tex]A_1C_1[/tex] и е такава че [tex]A_1C_1=A_1Q[/tex]([tex]A_1[/tex]е между [tex]C_1[/tex] и [tex]Q[/tex])
[tex]\triangle C_1BA_1,\triangle PCA_1[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]1.A_1C_1=A_1Q[/tex] по построение
[tex]2.BA_1=CA_1[/tex] по условие (A_1 е среда)
[tex]3.\angle C_1A_1B=\angle CA_1Q[/tex] като връхни.
[tex]=>\angle C_1BA_1=\angle QCA_1 ; CQ=C_1B[/tex] като СЕЕТ
[tex]\angle C_1BA_1=\angle QCA_1[/tex] са кръстни [tex]=> CQ||C_1B[/tex](Равни кръстни ъгли при пресичането на 2 прави с трета)
[tex]=>CQC_1A[/tex] е успоредник ([tex]AC_1=BC_1=CQ ; CQ||AC_1[/tex])
[tex]=>QC_1=AC ; =>A_1C_1=A_1Q=\frac{1}{2}QC_1=\frac{1}{2}AC[/tex].


Сега към задачата:
[tex]CD\bot AB ; P\in CD ; M,N,A_1,B_1[/tex] са среди съответно на[tex]AB,MP,BC,AC[/tex]
[tex]\triangle ACD[/tex] е правоъгълен [tex]=>DB_1=AB_1=CB_1=\frac{1}{2}AC[/tex](-теорема 2: В правоъгълен триъгълник: медианата към хипотенузата е равна на половината хипотенуза)
[tex]\triangle PDM[/tex] е правоъгълен [tex]=>DN=PN=NM=\frac{1}{2}PM[/tex](-теорема 2: В правоъгълен триъгълник:
медианата към хипотенузата е равна на половината хипотенуза)
Нека [tex]\angle CAB=\alpha ; =>\angle ADB_1=\alpha (DB_1=AB_1); =>\angle B_1DC=90^\circ -\alpha[/tex]
Нека [tex]\angle DMP=\beta ; =>\angle MDN=\beta (DN=NM); =>\angle NDP=90^\circ -\beta[/tex]
[tex]\angle A_1MB=\alpha (A_1M||AC)[/tex] по доказателство
[tex]\triangle B_1DN,\triangle A_1MN[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]1.DN=NM[/tex] по доказателство
[tex]2.A_1M=B_1D[/tex] по доказателство
[tex]3.\angle B_1DN=\angle A_1MN=180-\alpha -\beta[/tex] по доказателство
[tex]=>A_1N=B_1N[/tex] като СЕЕТ

[ins-]

Браво за решението и моето е подобно с тази разлика, че използвам определението за средна отсечка като "даденост". Това е причината да кажа, че е с материал за 8-ми клас.