Олимпиада по математика 8 клас

[deli1]

Да се докаже тъждеството:

[deli1]

В равнобедрения ?АВС ъгъл ВАС=ъгъл АВС = 36° . AL e ъглополовяща на ъгъл ВАС ,а СН е височина.Да се докаже, че AL= 2CH .

[martin123456]

2
нека О среда на AL. трябва да док че AL=CH. OH e средна отсечка в ALB. значи OHLC е трапец. дост е док че е равнобеден. забелязваме че ъгъл ALC=54. но толкова е и HCL. значи е равнобедрен.

[martin123456]

1
след пивеждане под знаменател [tex]A=(a-b)(b-c)(c-a)[/tex] числителят на лявата страна става
[tex]ab(b^^2-a^2)+bc(c^2-a^2)-ac(c^2-a^2)=ab^3-a^3+bc^3-b^3c-ac^3+a^3c=[/tex][tex]b^3(a-c)-b(a-c)(a^2+ac+c^2)+ac(c+a)(a-c)=[/tex][tex](a-c)[b^3-ba^2-abc-bc^2+ac^2+a^2c]=(a-c)(b(b+a)(b-a)-ac(b-a)-c^2(b-a))=[/tex][tex](a-c)(b-a)(b^2+ab-ac-c^2)=(a-b)(c-a)(b-c)(b+c+a)[/tex]

[deli1]

Височините АG и BF в ?АВС се пресичат в точка Н.Точките М и Р са среди съответно на отсечките АВ и СН.Докажете, че МР е пенпердикулярна на GF.

[martin123456]

FP=CH/2=GP, от правоъгълните HCF, HCG тиъгълници. аналогично FM=MG. значи триъгълниците MPF, MPG са еднакви по трети признак. тиъгълник FPG е равнобедрен, а PM му е ъглополовяща от еднаквостта, значи и височина.