Точка във вътрешността на триъгълник.

от **Xixibg** » 06 Мар 2012, 23:09

Гледайки темите без отговор попаднах на тази задача:

Alex98 написа:Даден е триъгълника АВС.Във вътрешността му е взета точка Р , а на страните АС и ВС са взети съответно точки М и L , за които:
[tex]\angle PAC=\angle PBC ,\angle PLC=\angle PMC=90^\circ[/tex].Ако D е среда на АВ ,да се докаже че DM=DL.

След доста загубено време и положено усилие успях да я реша.Вижда ми се интересна като задача и Ви предлагам да помислите и предложите решение.

от **ins-** » 07 Мар 2012, 00:07

Скрит текст: покажи

от **Xixibg** » 07 Мар 2012, 00:42

Не вярвам задача достъпна за 7-мокласници да е предлагана за МОМ.Моето решение наистина е с допълнително построение.Казваш че е давана на олимпиада в Сърбия.От къде черпиш информация за задачите?

от **ins-** » 07 Мар 2012, 02:35

За МОМ - има една книга IMO Compendium, а за Сърбия - имам книга с много задачи и решения на техни олимпиади и съм я виждал там. Преди време активно събирах задачи от олимпиади на различни страни. За първи път я срещнах в един сайт problems.ru или нещо подобно беше и там ми направи впечатление. Под нейно влияние "измислих" 2 подобни задачи, които пуснах във форума. Просто през годините - задачите и критериите са различни - в началото МОМ, както и НОМ са били като че ли по-лесни.

от **loving_math** » 07 Мар 2012, 14:30

Аз поне успях да я реша с комбинация от седмокласен и осмокласен материал.

Пoстрояваме медианите [tex]DF, DG - \Delta ADP, \Delta BDP, F \in AP, G \in PB[/tex]
[tex]DF[/tex] - средна отсечка в [tex]\Delta ABP =>FD=PG =b, FD || PG[/tex]
[tex]DG[/tex] - средна отсечка в [tex]\Delta ABP =>GD=PF=a , GD || PF[/tex]
[tex]DGPF[/tex] е успоредник.
[tex]\angle PFD = \angle DGP =\beta[/tex]
[tex]\Delta APM, \Delta BPL[/tex]са правоъгълни със съответни медиани към хипотенузите [tex]MF i LG[/tex]
[tex]AF=FM, \Delta AFM[/tex] - равнобедрен с ъгли при основата [tex]\angle FAM= \angle AMF = \alpha[/tex]
[tex]\angle MFD= 2\alpha + \beta[/tex]
[tex]BG=LG, \Delta BGL[/tex] - равнобедрен с ъгли при основата [tex]\angle GBL= \angle GLB = \alpha[/tex]
[tex]\angle DGL= 2\alpha + \beta[/tex]
[tex]\Delta MDF \cong DLG[/tex] по първи признак, защото:
[tex]a=a, b=b, 2\alpha +\beta =2\alpha + \beta[/tex]
[tex]=>DM=DL[/tex] като съотв. ел. в еднакви триъгълници

от **ins-** » 07 Мар 2012, 15:19

Сигурно може и по друг начин да се реши, но както и да се решава - за мен си остава много красива и ефектна задача.

от **stanislav97** » 10 Мар 2012, 15:06

Тази задача беше дадена на Зимния математички турнир Атанас Радев за 8 кл..
Там трябваше да се докаже, че въпросният триъгълник е равностранен, ако ъглите РАС и РВС са по 30 градуса.
Ако някой се интересува от задачи, за който и да е клас, ще му ги дам.