Трима братя

[ins-]

Андрей, Васил и Сергей са трима братя, чиито рожденни дни съвпадат. Когато най-големият от тях, Андрей, станал на 12 години, оказало се, че сумата годините на тримата братя се дели на 12. Същото се случило, когато Васил станал на 12 години. Да се докаже, че същото ще се случи, когато Сергей стане на 12 години.

[amsara]

12 - годините на Андрей
х - годините на Васил
у - годините на Сергей

[tex]12+x+y[/tex] се дели на 12.
[tex]=> 12+x+y =24; 36, 48....x<12, y<12 => x+y<24[/tex]
[tex]12+x+y=24 <=> x+y=12[/tex]
Минават n години до навършването на 12 години и от Васил.
[tex]24+3n[/tex] се дели на 12.
[tex]24+3n=36, 48,60...[/tex]
[tex]3n=12, n=4[/tex]Другите варианти водят до противоречие.

Към момента, в който Андрей е бил на 12, Васил е бил на 8, а Сергей на 4.
Когато Сергей стане на 12, Андрей ще е на 20, а Васил на 16.
[tex]20+16+12 =48[/tex] и се дели на 12.
Само, че не знам как точно се разписва такава задачка.

[ins-]

В оригинал с решението

У трех братьев - Андрея, Василия и Сергея - дни рождения совпадают. Когда старшему из них, Андрею, исполнилось 12 лет, то оказалось, что сумма возрастов всех трех братьев делится на 12. То же случилось, когда 12 лет исполнилось Василию. Докажите, что то же самое случится, когда 12 лет исполнится Сергею.

Имеем три ситуации:
____1) 12, 12-х, 12-у;
____2) 12+х, 12, 12+х-у;
____3) 12+у, 12+у-х, 12.
Первая соответствует тому времени, когда Андрею было 12 лет; вторая - когда Василию было 12 лет, третья - когда Сергею стало 12 лет. Первый случай дает нам: х+у делится на 12; второй дает: 2х-у делится на 12. В третьем случае 2у-х=(х+у)-(2х-у).