BC=6 cm на равностр. триъгълник ABC е Взета т.М

[alexander_ivanov]

Върху страната BC=6 cm на равностр. триъгълник ABC е Взета т.М такава, че:
[tex]\angle MAB=20^\circ[/tex]
нека [tex]N \in AM[/tex] и M да е между A и N
да се намери дължината на [tex]MN[/tex], ако [tex]\angle BCN=50^\circ[/tex]

[alexander_ivanov]

Заинтересувани има ли?

[ganka simeonova]

Има:) Но не пускай решение:)

[inveidar]

MN=6?

[inveidar]

4t.1.png (29.35 KiB) Прегледано 649 пъти

Да опишем окръжност с център точката В и радиус, равен на 6. Лесно се доказва, че N лежи на тази окръжност. Сега от свойството на секущите през М получаваме [tex]AM.MN=(x+6)(x-6)[/tex].
От Синусовата теорема за триъгълника АВМ пък [tex]\frac{x}{sin 20^{0} }=\frac{AM}{sin 60^{0} }[/tex],
а пак от Синусовата теорема за триъгълника АМС пък [tex]\frac{AM}{sin 60^{0} }=\frac{6}{sin 80^{0} }[/tex],
откъдето намираме АМ и x, заместваме в първото равенство и след елементарни тригонометрични преобразувания(синус от сбор и разлика) получаваме МN=6 см.

[inveidar]

Може и по-лесно. Пак си построявате горната окръжност, но после свързвате В с N. Тогава [tex]\angle CBN=2\angle NAC[/tex](централен и вписан!)[tex]=2.40^{0}=80^{0}=\angle BMN[/tex], т.е триъгълникът MBN е равнобедрен с бедра MN и BN. Следователно MN=6 см.

[alexander_ivanov]

Хубави решения, но ето и едно с чисто 7-мокласнически (?) материал:
През B построяваме права такава, че разделя външния ъгил при B в отношение 2:1. тази права пресича АМ в точка [tex]N_1[/tex](в същата полуравнина както и N), от това че [tex]\angle N_1BA=140^\circ \& \angle BAN_1=20^\circ => \angle BN_1A=20^\circ => BN_1=AB; \angle N_1MB=\angle N_1BM =>[/tex][tex]MN_1=BN_1 => \left\{ \begin{array}{ll} \angle BCN_1= \angle BN_1C = 50^\circ ,N_1 \in AM \\ \angle BCN = 50^\circ , N \in AM \end{array} \right.
=> N_1 \equiv N => MN=MN_1=BN_1=AB=BC=6cm[/tex]