Неравенство с полиноми, Putnam 1999

[drago]

Да се докаже, че съществува константа [tex]C[/tex] , така че за всеки полином [tex]P(x)[/tex] от степен [tex]1999[/tex] e изпълнено:

[tex]|P(0)| \leq C \int_{-1}^{1} |P(x)|\,dx[/tex]

[drago]

Разбира се всеки може да си свали решенията на Putnam от минали години и да погледне.
Всъщност "най-идеологическото" решение е следното: тъй като полиномите от степен [tex]1999[/tex] са крайномерно линейно пространство, то в него всички норми са еквивалентни. В частност еквивалентни са [tex]||\cdot||_{\infty}[/tex] и [tex]\||\cdot \||_1[/tex] - първата е супремум нормата, втората [tex]L^1[/tex] ,и двете над [tex][0,1][/tex]. От това следва и съществуването на константата.
Това решение присъства сред "официалните".
Решението, което намерих използва неравенството на Марков за полиноми. Интересното е че константата, която се получава е доста по-малка от тази в другото "официално решение".
Подробностите тук: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=513429

[grav]

За идеологичното ме е яд, че не се сетих. Смятам, че то е 'правилното', за другите, човек трябва да е аналитик по дух за да му допаднат.

[drago]

Koe e 'правилното' зависи от гледната точка! И на мен този аргумент ми допада, но пък задача за Putnam и да се решава на едни ред!? Някак си не се вързва. То това повече прилича на упражнение към учебник.
Аз лично бих предпочел да се използва нещо специфично касаещо полиномите. Между другото, тук даже няма нужда да прибягване до супремум нормата. Просто [tex]||p||_0 = |p(0)|[/tex] е полунорма, което ще рече, че изпълнява всички свойства на нормата с изключение на това, че от [tex]||p||_0 = 0[/tex] не следва [tex]p=0[/tex]. В този случай, ако означим [tex]P_0= \{p\in P_n \mid p(0)=0 \}[/tex] то [tex]||\cdot||_0[/tex] става норма в [tex]P_n/P_0[/tex] , което е крайномерно лин. пространство и се влага в [tex]P_n[/tex]. Това гарантира съществуването на константата.
Аз лично бих предпочел ключовата идея да е нещо специфично за полиномите. Което би било така, ако задачата беше:
Да се докаже, че съществува константа [tex]C[/tex], такава, че за всеки полином [tex]p[/tex] от [tex]n[/tex]-та степен е в сила:

[tex]|p(0)| \leq Cn^2 \int_{-1}^{1} |p(t)|\, dt[/tex]

С тази формулировка вече не може да мине номера с прибягване до по общи аргументи.