Задача за тетраедър с отсечки

[melda.h]

Даден е тетраедър АBCD
т. D1 e медицентър в триъгълник ABC и DD1е медиана на ABCD
DA = a, DB = b, DC=c
a,b,c = линейно независими вектори
DD1, AA1, BB1, CC1 - медиани
- да се изразят АА1, BB1, CC1, DD1 чрез a,b,c
- да се докаже, че четирите медиани се пресичат в т.М и да се намери отношението, в което тя ги разделя.
- да се докаже, че ОМ = 1/4 (ОА + OB + OC + OD)

[ptj]

По принцип точка [tex]М[/tex] е център на тежестта на за тетраедъра [tex]ABCD[/tex], т.е. [tex]\vec {MA}+\vec{MB}+\vec {MC}+\vec{MD}=\vec 0[/tex].

Горното се доказва лесно:

Знаем, че за медицентъра [tex]М_1[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex] е изпълнено [tex]\vec {M_1A}+\vec{M_1B}+\vec {M_1C}=\vec 0[/tex].
Освен това:
[tex]\vec {MA}=\vec{MM_1}+\vec{M_1A}[/tex],
[tex]\vec {MB}=\vec{MM_1}+\vec{M_1B}[/tex],
[tex]\vec {MC}=\vec{MM_1}+\vec{M_1C}[/tex].
Сумираме горните 3 равенства почленно:
[tex]\vec {MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{MM_1}+\vec{M_1A}+\vec{MM_1}+\vec{M_1B}+\vec{MM_1}+\vec{M_1C}[/tex]

[tex]\vec {MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MM_1}+(\vec{M_1A}+\vec{M_1B}+\vec{M_1C})=3\vec{MM_1}+\vec 0[/tex]

Прибавяме по [tex]\vec MD[/tex] към двете страни на последното равенство:

[tex]\vec {MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=3\vec{MM_1}+\vec {MD}[/tex]

Горното равенство се приравнява на [tex]\vec 0[/tex], точно когато [tex]MM_1:M_1D=3:1[/tex] ( и обратното).

Използвайки споменатото равенство доказването на търсените в задачата зависимости е елементарно.

П.П. Задачата е достъпна за 8-класници.

[Nathi123]

DD[tex]_{1 }[/tex]-медиана в ABCD [tex]\Rightarrow[/tex] D[tex]_{1 }[/tex]-медицентър в [tex]\Delta ABC[/tex] . Нека CD[tex]_{1 }[/tex] [tex]\cap[/tex] AB = N [tex]\Rightarrow[/tex] AN = NB = [tex]\frac{1}{2} AB[/tex] и [tex]\frac{CD_{1 }}{D_{1 }N}=\frac{2}{1}[/tex]. Тогава [tex]\vec{DD_{1 }} = \frac{1}{3} \vec{DC} + \frac{2}{3} \vec{DN}[/tex] (1) [tex]\vec{DN} = \frac{1}{2}( \vec{DA} + \vec{DB} ) = \frac{1}{2}( \vec{a} + \vec{b})[/tex]. Заместваме в (1) и получаваме,че [tex]\vec{DD_{1 }} = \frac{1}{3}( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} )[/tex]. Аналогично се изразяват другите медиани на тетраедъра. Тук използвах,че ако N е среда на отс. АВ и О е произволна точка в пространството,то [tex]\vec{ON} = \frac{1}{2}( \vec{OA} + \vec{OB})[/tex],(2) също ,ако [tex]\frac{AP}{PB} = \frac{m}{n}[/tex] ,то [tex]\vec{OP} = \frac{n}{m+n}\vec{OA}+\frac{m}{m+n}\vec{OB}[/tex].(3) Нека точка М е от отсечката DD[tex]_{1 }[/tex] и [tex]\frac{DM}{MD_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{3}{1}[/tex] с аналогични на горните изразявания ,като се използват р-ва (2) и (3) се доказва ,че [tex]\vec{OM} = \frac{1}{4}( \vec{OA} + \vec{OB}b+ \vec{OC} + \vec{OD})[/tex] (4) . Ако точка [tex]M_{1 }[/tex] дели някоя медиана на тетраедъра в отношение 3:1 считано от връх на тетраедъра,то [tex]\vec{OM_{1 }} = \frac{1}{4}( \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD})[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\vec{OM}=\vec{OM_{1 }}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] точките М и M[tex]_{1 }[/tex] съвпадат.Така например може да се докаже,че т.М принадлежи на всяка медиана на тетраедъра т.е. те се пресичат в тази точка.

[melda.h]

Многооо ви благодаря! Аз стигах до някъде и не знаех как да продължа. Още веднъж благодаря!