Линейно нехомогенно диференциално уравнение

[GSegov]

Ако някой може да ми помогне
y''-y'-2y=4x^2
получавам корени 1 и -2 от където Yхом=C1.e^x+C2.e^-2x
за [tex]\eta[/tex](x) получавам Ax^2+Bx+C
за \eta'(x) Получавам 2Ax+Bx
и ако до тук е вярно колко ми е производната за 2Аx+Bx ?
Благодаря!

[Nathi123]

Характеристичното уравнение е [tex]\lambda^{2} - \lambda -2 =0[/tex] с корени [tex]\lambda_{1 } = - 1 \cup \lambda_{2 } = 2[/tex] Тогава решението
на нехомогенното уравнение е от вида y = Y(x) + [tex]\nu (x) ,[/tex] където У(х) = [tex]C_{1 }e^{-x} + C2_{1 }e^{2x} , \nu(x) = Ax^{2}+Bx+C[/tex][tex]\Rightarrow \nu'(x) = 2Ax + B ,
\nu''(x) = 2A\Rightarrow 2A-2Ax-B-2Ax^{2}-2Bx-2C=4x^{2} (1)[/tex]
Приравняваме коефициентите пред еднаквите степени на х в двете страни на (1) и получаваме -2A = 4 [tex]\Rightarrow A = -2,[/tex] A+B = 0 [tex]\Rightarrow B = 2 , 2A - B - 2C = 0[/tex] [tex]\Rightarrow C = -3[/tex] [tex]\Rightarrow \nu(x) = -2x^{2}+2x-3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] y = [tex]C_{1 }e^{-x} + C_{2 }e^{2x} - 2x^{2} +2x - 3[/tex]