Помощ за курсова работа по математика 1

от **deqn_0000** » 15 Дек 2015, 14:58

Здравейте.бихте ли ми помогнали за следните задачи. (или поне за някои от тях),защото математиката изобщо не ми се отдава,апък преподавателката се заяжда и иска поне 4 от 6 задачи от курсувата решени,за да ми даде заверка. За петък са:

$y=\sqrt{1-cos^6x}$
$y'=\frac{(1-cos^6x)'}{2\sqrt{1-cos^6x}}=\frac{-6cos^5x.(-sinx)}{2\sqrt{1-cos^6x}}=\frac{3sinx.cos^5x}{\sqrt{1-cos^6x}}$

$y=tg^3(2x)-3^{x^2}$
$y'=3tg^2(2x).(tg(2x))'-3^{x^2}.ln3.(x^2)'=3tg^2(2x).\frac{(2x)'}{cos^2(2x)}-2x.ln3.3^{x^2}=\frac{6tg^2(2x)}{cos^2(2x)}-2ln3.x.3^{x^2}$

$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx}\right)=[\infty-\infty]=\lim_{x\to 1}\frac{xlnx-(x-1)}{(x-1)lnx}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x\to 1}\frac{(xlnx-x+1)'}{((x-1)lnx)'}=\lim_{x\to 1}\frac{lnx+\frac{x}{x}-1}{1.lnx+\frac{x-1}{x}}=\lim_{x\to 1}\frac{lnx}{lnx+1-\frac{1}{x}}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}$

$I=\int sin(1+x)e^{-x}dx=-\int sin(1+x)de^{-x}=-e^{-x}.sin(1+x)+\int e^{-x}dsin(1+x)=-e^{-x}.sin(1+x)+\int cos(1+x)e^{-x}dx=-e^{-x}.sin(1+x)-\int cos(1+x)de^{-x}=-e^{-x}sin(1+x)-e^{-x}cos(1+x)+\int e^{-x}dcos(1+x)=-e^{-x}(sin(1+x)+cos(1+x))-\int e^{-x}sin(1+x)dx=-e^{-x}(sin(1+x)+cos(1+x))-I$

$2I=-e^{-x}(sin(1+x)+cos(1+x))+C$

$I=-\frac{1}{2}e^{-x}(sin(1+x)+cos(1+x))+C$

$y=\frac{2x^3}{x^2-4}$

$D.M.\ x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$

$y_{-x}=\frac{2.(-x)^3}{(-x)^2-4}=-\frac{2x^3}{x^2-4}=-y_x$ - нечетна, графиката е симетрична спрямо началото на координатната система.

Не е периодична.

$\lim_{x\to-\infty} y=\lim_{x\to-\infty} x\cdot\frac{2}{1-\frac{4}{x^2}}=-\infty\cdot\frac{2}{1-0}=-\infty$

$\lim_{x\to+\infty} y=\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{2}{1-\frac{4}{x^2}}=+\infty\cdot\frac{2}{1-0}=+\infty$

Вертикални асимптоти:

$\lim_{x\to 2-0}y=\frac{2.2^3}{(2-0)^2-4}=\frac{16}{4-4.0+0-4}=-\infty$

$\lim_{x\to 2+0}y=\frac{2.2^3}{(2+0)^2-4}=\frac{16}{4+4.0+0-4}=+\infty$

$\lim_{x\to -2-0}y=\frac{2.(-2)^3}{(-2-0)^2-4}=\frac{-16}{4+4.0+0-4}=-\infty$

$\lim_{x\to -2+0}y=\frac{2.(-2)^3}{(-2+0)^2-4}=\frac{-16}{4-4.0+0-4}=+\infty$

Наклонени асимптоти: $y_{ac.}=kx+n$

$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2}{x^2-4}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{1-\frac{4}{x^2}}=2$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}(y-kx)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{2x^3}{x^2-4}-2x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{8x}{x^2-4}=0$

$y'=\frac{6x^2(x^2-4)-2x^3.2x}{(x^2-4)^2}=\frac{2x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}$

$y'=0\Rightarrow x_1=0;\ x_{2,3}=\pm 2\sqrt{3}$

$y''=\frac{(8x^3-48x)(x^2-4)^2-2x^2(x^2-12).2(x^2-4).2x}{(x^2-4)^4}=\frac{16x^3+192x}{(x^2-4)^3}=\frac{16x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$

$y''=0\Rightarrow x=0\to infl.$

$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2)\to y''<0\to$ - изпъкнала нагоре.

$x\in(-2;0)\cup(2;+\infty)\to y''>0\to$ - изпъкнала надолу.

$y''_{x=\pm 2\sqrt{3}}=\pm\frac{16.2\sqrt{3}.24}{8^3}$

$y_{x=2\sqrt{3}}=6\sqrt{3}$ - локален минимум.

$y_{x=-2\sqrt{3}}=-6\sqrt{3}$ - локален максимум.