Определен интеграл

[justme.h]

[tex]\int\limits_{0}^{1}[/tex] [tex]\sqrt{1+x^{2}}[/tex] dx
Да се реши по поне 4 начина.

[Knowledge Greedy]

Със субституцията на Ойлер ("линеаризиране" и рационализиране)
[tex]\sqrt{1+x^2}=t-x[/tex]

[tex]1+x^2=t^2-2tx+x^2[/tex]

[tex]x=\frac{t}{2}-\frac{1}{2t} \,\ \Rightarrow \,\ t-x=\frac{t^2+1}{2t}[/tex]

[tex]dx=\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{2t^2} \right )dt[/tex]

Границите на интегриране стават [tex]1[/tex] и [tex]1+\sqrt{2}[/tex] - защото функцията [tex]t(x)=x+\sqrt{1+x^2}[/tex] е монотонно растяща и непрекъсната в интервала [tex][1;2][/tex]

[tex]\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x^2}dx=\int\limits_{1}^{1+\sqrt{2}} (t-x)dx=\int\limits_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{t^2+1}{2t}. \frac{t^2+1}{2t^2}dt=[/tex][tex]=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{1+\sqrt{2}}\left (t+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^3} \right )dt \,\ \approx 1,147794[/tex]
________________
С интегриране по части и един табличен[tex]^{\ast}[/tex] интеграл
Първо неопределения интеграл
[tex]I= \int \sqrt{1+x^2}dx=x\sqrt{1+x^2}-\int xd\sqrt{1+x^2}=x\sqrt{1+x^2}-\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx[/tex]

[tex]I=x\sqrt{1+x^2}-\int \frac{1+x^2-1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
[tex]I=x\sqrt{1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}dx + \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx[/tex]

[tex]I=\frac{1}{2}\left ( x\sqrt{1+x^2}+ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right )+C[/tex]
________________
С полагане синус хиперболичен
[tex]x=sht[/tex]
[tex]dx=chtdt[/tex]
и т.к. [tex]ch^2t-sh^2=1[/tex],

[tex]I=\int ch^2tdt=\frac{1}{4}sh2t+\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}shtcht+\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+ln(x+\sqrt{1+x^2})C[/tex]

Последното събираемо (преди константата) се получи от [tex]x=sht \,\ \Leftrightarrow \,\ x=\frac{e^t-e^{-t}}{2} \,\ \Leftrightarrow \,\ u^2-2xu-1=0[/tex] където [tex]u=e^t[/tex]
________________
Видът на интеграла подсказва, че може да става дума за дължина на дъга от крива в декартови координати.
Формулата е [tex]L= \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^2}dx[/tex]
За това, с "метода на находчивия седмокласник", чертаем точно графиката на функцията
[tex]y=\frac{1}{2}x^2[/tex] в интервала [a;b] =[0; 1] ,
след което с конец измерваме дължината на тази дъга - това е стойността на търсения определен интеграл.

Петият начин ;).png (7.92 KiB) Прегледано 375 пъти

И "с просто око" се вижда, че дължината на дъгата - след като я разпънем върху абсцисната ос дава отговора [tex]L\approx 1,147794[/tex], който получаваме по другите начини.
________________
[tex]^{\ast}[/tex] Навярно има и други начини, първи от които е Интернет или един добър "Наръчник на инженера"
част I - математика, ДИ "Наука и изкуство"/ София - 1958 на доцент инж. Ив. Д. Кисьов.