Задача с доказателство

[justme.h]

Докажете, че ако x + [tex]\frac{1}{x}[/tex] е цяло число за някое x в R, то x^n + [tex]\frac{1}{x^{n}}[/tex] също е цяло число за всяко n=1,2,3,...

[Knowledge Greedy]

Имаме [tex]x+\frac{1}{x}[/tex] - цяло.
Ако повдигнем на втора степен [tex]\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2[/tex] - отново се получава цяло. Но това е числото [tex]x^2+2 + \frac{1}{x^2}[/tex] Като извадим цялото [tex]2[/tex], отново се получава цяло.
Следователно [tex]x^2 + \frac{1}{x^2}[/tex] е цяло.
Това беше базата на индукцията.
Сега - индукционният преход.
Допускаме, че до някое [tex]n[/tex], примерно до [tex]n=k[/tex], където [tex]k\ge 2[/tex] числата [tex]x^k + \frac{1}{x^k}[/tex] са цели.
Ще докажем, че [tex]x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}[/tex] е цяло.

Умножаваме цялото [tex]x^k + \frac{1}{x^k}[/tex] по цялото [tex]x+\frac{1}{x}[/tex]
Резултатът [tex]\left (x^k + \frac{1}{x^k} \right ) \left ( x+\frac{1}{x} \right )[/tex] също е цяло.
След разкриване на скобите и групиране, получаваме
[tex]x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}+ \left ( x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}} \right )[/tex]
Според индукционното предположение изразът в скобите е цяло. Следователно и първите две събираеми [tex]x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}[/tex] дават цяло число, което трябваше да докажем.
Заключение. Съгласно ППМИ за всяко естествено [tex]n[/tex] числото [tex]x^n + \frac{1}{x^n}[/tex] е цяло.