Разложим полином

[martin.nikolov]

Чудих се къде да я сложа и накрая решик тук, като най-празен клуб. Така задачата е: Съществува ли полином [tex]f[/tex] от втора степен с рационални коефициенти, такъв че [tex]f^4+1[/tex] да е разложим над рационалните числа.

[ptj]

Ако съществува разлагане, то то е само от вида [tex](x^2+A1.x+B1)(x^2+A2.x+B2)=x^4+1[/tex]. Тогава
[tex]A1+A2=0[/tex]
[tex]B1+B2+A1.A2=0[/tex]
[tex]A1.B2+A2.B1=0[/tex]
[tex]B1.B2=1[/tex]

или
[tex]A1=-A2[/tex]
[tex]2.B1-A1^2=0[/tex]
[tex]B1=B2[/tex]
[tex]B1.B2=1[/tex]

От последните две се получава B1=B2=1, но тогава
[tex]A1^2=2[/tex] => системата няма решение в рационални числа, т.е. търсения полином не съществува.

П.П. Друг начин е с комплексни числа( 4-ти корени на имагинерната единица). Използва се факта, че едно уравнение от 4-та степен е решимо и има точно 4-тири корена в множеството на комплексните числа. Т.е. решението е на 2 реда.

[allier]

Това решение пак не е вярно. Според условието f може да е полином ...

[Станислав]

Да не говорим, че [tex]f=x[/tex] е полином от първа степен.

[ptj]

Решавал съм друга задача (недоглеждане).

[martin.nikolov]

Може да има няколко решения, но това което видях изпозва и неща извън училищната математика. И може би не може да се мине без тях.

[drago]

Като влизам всеки път в този раздел,този проблем стои все най-отдолу и без решение. Нямам никакви флуиди към подобни задачи, обаче няма ли някой да публикува решение, че това почва да ме дразни, не знам вас .
Сега,... със сигурност има решение с училищна математика, защото намерих такова. Е, използват се малко комплексни числа, но най-общи неща...
Интересува ме обаче някакво по-абстрактно решение, така че, pls