Граница на биномен коефициент

[someone]

Здравейте, моля за помощ за следната задача:
[tex]\lim_{n \to +\infty}{\sqrt[{n}]{3n+1 \choose 2n}}[/tex] (ако не се вижда добре, коренът е n-ти).
(Трябва ми решение без апроксимации, числени методи и т.н., нещо от рода на граничен преход, Лопитал и от пр. - знания на ниво Анализ 1,2).

[Knowledge Greedy]

Без апроксимации... трябва да минем през обширна теория, която сме забравили.
Ето с формулата на Стирлинг за достатъчно големи [tex]n[/tex]:
[tex]n! \approx \sqrt{2\pi n}\left ( \frac{ n}{e} \right )^n[/tex]
Разписваме формулата с факториали [tex]{ 3n+1 \choose 2n} =\frac{(3n+1)!}{(n+1)!(2n)!}[/tex]
и за всеки от тях прилагаме споменатата формула.
В резултат границата [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{ 3n+1 \choose 2n}}[/tex] се разпада на произведение от три граници.
Първата
[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[2n]{\frac{3n+1}{8\pi n(n+1)}}=1[/tex]
Втората
[tex]\lim_{п \to \infty} \left ( \frac{3 n+1}{2n} \right )^2=\frac{9}{4}[/tex]
Третата
[tex]\lim_{п \to \infty} \left ( \frac{3 n+1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n}}=3[/tex]
Окончателно
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{ 3n+1 \choose 2n}}=\frac{27}{4}[/tex]

[someone]

Благодаря за включването, действително отговорът е този и подходът е нов за мен, но не е това, което търся. Имам няколко идеи, които ще помоля някой по-компетентен от мен да кoментира, да каже има ли потенциал в някоя от тях. Благодаря предварително за отделеното време.

Нека [tex]a_n={3n+1 \choose 2n}, b_n = \sqrt[n]{a_n}={(a_n)}^{\frac{1}{n}}, L=\lim_{n \to +\infty}{b_n}[/tex]

Имаме [tex]\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(3n-1)3\cancel{n}(3n+1)}{(2n-1)2\cancel{n}.n}[/tex] и [tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{a_n}{a_{n-1}}}=\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.3=\frac{27}{4}[/tex]

1. Уравнение в граничен преход. Използваме, че [tex]b_n = {(b_{n-1})}^{\frac{n-1}{n}}.{(\frac{a_n}{a_{n-1}})}^{\frac{1}{n}}[/tex]. Като пуснем [tex]n[/tex] да клони към [tex]+\infty[/tex], получаваме [tex]L=L^{1-0}.(\frac{27}{4})^0 \rightarrow L=L[/tex].
Това обаче до нищо съществено не ни води, освен тази ключова поява на числото [tex]\frac{27}{4}[/tex]. Някакви идеи?

2. По повод на границата на частното, която явно е от значение, попаднах на следното твърдение: Ако [tex]{a_n}[/tex] е редица от неотрицателни числа и [tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac {a_{n+1}}{a_n}}=l[/tex], то [tex]\lim_{n \to +\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=l[/tex].
Това идеално решава проблема, друг е въпросът, че доказателството на твъдението е трудно.

3. Тъй като имаме степенуване фактически, да логаритмуваме. Имаме [tex]ln L = ln \lim_{n \to +\infty}{(a_n)}^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to +\infty}ln{(a_n)}^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to +\infty}{\frac{1}{n}ln{\frac{(3n+1)(3n)....(2n+1)}{(n+1).n.(n-1)....2.1}}}= \lim_{n \to +\infty} {\frac{ln(3n+1)}{n}} +[/tex][tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{ln(3n)}{n}}+...+\lim_{n \to \infty}{\frac{ln(2n+1)}{n}}[/tex]

[tex]- \lim_{n \to +\infty}{\frac{ln(n+1)}{n}} -[/tex][tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{ln(n)}{n}} -[/tex][tex]... -[/tex][tex]\lim_{n \to +\infty} {\frac{1}{n}}[/tex]

(тук приложихме правилото за комутиране на [tex]lim[/tex] и [tex]ln[/tex], както и свойствата на логаритъма).

На всяко от тези събираеми формата му е [tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{lnf(n)}{n}}=\frac{\lim_{n \to +\infty}(lnf(n))'}{\lim_{n \to +\infty}{n'}}=\frac{\lim_{n \to +\infty}(\frac{1}{f(n)}{f'(n)})}{1}=[/tex][tex]\lim_{n \to +\infty}{\frac{1}{f(n)}} \lim_{n \to +\infty}{f'(n)}[/tex]

(тук приложихме правилото на Лопитал), където[tex]f(n)[/tex] e линейна функция с положителен старши коефициент, т.е.
[tex]f'(n)=const, \lim_{n \to +\infty}{\frac{1}{f(n)}}=0 \rightarrow \lim_{n \to +\infty}{\frac{lnf(n)}{n}}=0[/tex].

Следователно, [tex]lnL = 0 \rightarrow L = e^0 = 1[/tex].

Къде е грешката?

[someone]

Имам грешка в начина, по който формулирам правилото на Лопитал, но няма разлика спрямо резултата при правилно прилагане.

[Knowledge Greedy]

По (1) - с граничен преход се откриват граници, за които се знае, че съществуват.
Твърдението (2) е вярно и не толкова трудно за доказване. С негова помощ задачата действително става.
В твърдението (3) е допусната груба принципна грешка- Така не се (закръгляват) и сумират безбройно много безкрайно малки събираеми. Виж също и условията за прилагане правилото на Лопитал.

[34780]

Разписваме формулата с факториали [tex]{ 3n+1 \choose 2n} =\frac{(3n+1)!}{(n+1)!(2n)!}[/tex]
и за всеки от тях прилагаме споменатата формула.
В резултат границата [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{ 3n+1 \choose 2n}}[/tex] се разпада на произведение от три граници.
Първата
[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[2n]{\frac{3n+1}{8\pi n(n+1)}}=1[/tex]
Втората
[tex]\lim_{п \to \infty} \left ( \frac{3 n+1}{2n} \right )^2=\frac{9}{4}[/tex]
Третата
[tex]\lim_{п \to \infty} \left ( \frac{3 n+1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n}}=3[/tex]
Окончателно
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{ 3n+1 \choose 2n}}=\frac{27}{4}[/tex]

Извинете, ще може ли едно кратко уточнение как след като сме приложили апроксимацията на Стирлинг за всеки от факториелите стигаме до границата, която след това се разпада на съответните три граници. Благодаря много.

[Sup3rlum]

Тук се използва факта, че ако имаме граница от две функции, може да се раздели на две граници, стига те да съществуват по отделно, да са продължителни и да не се получава недефинирана стойност.

[34780]

Въпроса ми беше по-скоро какви преобразувания биват направени след като се замести с апроксимацията, за да се стигне до границата, която евентуално след това да се раздели на конкретните три. При мен нещо не се получава както и да го захвана.