Граници

[w1nT]

Ако може някой да я реши с лемата за двамата полицай и да даде малко обяснения

[Добромир Глухаров]

$L=\lim_{n\to\infty}\sum_{v=1}^n\left(\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}-1\right)=?$

$a_n=\sum_{v=1}^n\left(\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}-1\right)=\sum_{v=1}^n\frac{\left(\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}-1\right)\left(\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}+1\right)}{\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}+1}=\\=\sum_{v=1}^n\frac{1+\frac{v}{n^2}-1}{\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}+1}=\sum_{v=1}^n\frac{v}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}+1\right)}$

$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\leq\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}\leq\sqrt{1+\frac{n}{n^2}};\ 1\leq v\leq n$

$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\leq\sqrt{1+\frac{v}{n^2}}\leq\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

$\Rightarrow\sum_{v=1}^n\frac{v}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\leq a_n\leq\sum_{v=1}^n\frac{v}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)}$

$\frac{\sum_{v=1}^n v}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\leq a_n\leq\frac{\sum_{v=1}^n v}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)}$

$\frac{\frac{\cancel{n}(n+1)}{2}}{n^\cancel{2}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\leq a_n\leq\frac{\frac{\cancel{n}(n+1)}{2}}{n^\cancel{2}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)}$

$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\leq\lim_{n\to\infty}a_n\leq\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}$

$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\leq L\leq\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$

$L=\frac{1}{4}$

[Knowledge Greedy]

Да означим [tex]S_n=\sum_{\nu=1}^{n }\left ( \sqrt{1+\frac{\nu}{n^2}}-1 \right )[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{4}[/tex]
Защо?
Рационализираме всяко събираемо на [tex]S_n[/tex] така [tex]\frac{\frac{\nu}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{\nu}{n^2}}+1}[/tex]
Оценяваме го отгоре така [tex]\frac{\frac{\nu}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{\nu}{n^2}}+1}<\frac{\frac{\nu}{n^2}}{1+1}=\frac{\nu}{2n^2}[/tex]
Получихме, че [tex]S_n<B_n[/tex], където [tex]B_n=\sum_{\nu=1}^{n }\frac{\nu}{2n^2}=\frac{1}{2n^2}\sum_{\nu=1}^{n }\nu=\frac{1}{2n^2}.\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{4n}[/tex]

За оценка отдолу, да разгледаме сумата [tex]s_n=\sum_{\nu=1}^{n }\left ( \sqrt{1+\frac{\nu}{n^2}}- \sqrt{1+\frac{1}{n}} \right )[/tex]
Явно всяко събираемо на [tex]s_n[/tex] не надвишава (дори е по-малко ) от събираемото на [tex]S_n[/tex] със същия номер, ето защо имаме [tex]s_n<S_n[/tex]
Да оценим [tex]s_n[/tex].
Рационализираме всяко събираемо на [tex]s_n[/tex] така [tex]\frac{\frac{\nu}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{\nu}{n^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{n}} }[/tex]
Правим замяна в знаменателя, която го прави по-голям - тогава съответната дроб става по-малка.
[tex]\frac{\frac{\nu-1}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{n}{n^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{n}} }<\frac{\frac{\nu-1}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{\nu}{n^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{n}} }[/tex]
Разглеждаме сумата [tex]A_n=\sum_{\nu=1}^{n } \frac{\nu-1}{2n^2\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{(n-1)n}{4n^2\sqrt{1+\frac{1}{n}}}[/tex]
Ето го и вторият полицай.
Тъй като [tex]S_n[/tex] е заграден" [tex]A_n<S_n<B_n[/tex], а [tex]\lim_{n \to \infty }A_n=\lim_{n \to \infty }B_n=\frac{1}{4}[/tex], следва т.к.т.д.

Видях, че Добромир ме е изпреварил. Поздрави!

[w1nT]

Много ви благодаря, че се отзовахте !

[Shalimar_fox]

Хей, имам и аз един въпрос. Задачата е следната:
[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{e^x-e}[/tex]
Ясно е, че ще се прилага правилото на Лопитал, въпросът е, че в знаменателя трябва да се търси производната на е^x-е. Някой може ли да помогне....

[Knowledge Greedy]

[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x−1}{e^x−e }=\lim_{x \to 1}\frac{(x−1)'}{(e^x−e)' }=\lim_{x \to 1}\frac{1−0}{e^x−0 }=\frac{1}{e^1}=e^{-1}[/tex]

[grozeva88]

Здравейте. Може ли малко помощ за тази задача
Lim x -[tex]\sqrt{x}[/tex]
x\rightarrow 1 \sqrt{x} -1

[Добромир Глухаров]

Здравейте. Може ли малко помощ за тази задача
Lim x -[tex]\sqrt{x}[/tex]
x\rightarrow 1 \sqrt{x} -1

Здравейте и за много години!

Доколкото разбирам, условието е следното: $\lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=?$. (Ако условието е друго, моля, пишете!)

Та, ако условието е това, което предполагам, ето как се решава:

$\lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\{\frac{1-\sqrt{1}}{\sqrt{1}-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x}-\sqrt{x}.1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}.\cancel{(\sqrt{x}-1)}}{\cancel{\sqrt{x}-1}}=\lim_{x\to 1}\sqrt{x}=\sqrt{1}=1$