Въпрос отностно ред на Маклорен и числото на Ойлер

[play4u]

Здравейте! Наскоро получих следната задача за домашна:
Да се намери лицето на триъгълника получен от асимптотите на следната фунцкия: [tex]\frac{(x^{2}+2x-3)e^{1/x}}{|x|}[/tex]. Мисля, че успях да намеря хоризонталните и вертикалните, но при намирането на наклонените стигнал лек проблем.

Първата наклоненна асимптота y1=kx+m би трябвало да се намери по следния начин: k= [tex]\lim{x \to \infty}[/tex] [tex]\frac{(x^{2}+2x-3)e^{1/x}}{x^{2}}[/tex] и m=[tex]\lim{x \to \infty}[/tex] [tex]\frac{(x^{2}+2x-3)e^{1/x}}{x}[/tex]-kx. За k намерих, че е равно на 1, което е правилно. Проблемът ми е при намирането на m. При директно търсене на границата получавам отговор за m=1. Но според wolframalpha примерно, m=3. Погледнах решението на задачата и се оказва, че m наистина е 3. Авторите на задачата са дали следното решение:

[tex]\lim{x \to \infty}[/tex] [tex]\frac{(x^{2}+2x-3)e^{1/x}}{x}[/tex]-x = [tex](x+2-\frac{3}{x})(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})-x[/tex]. Koето след разписване наистина дава 3. Изразът в първите скоби би трябвало да се получава след деление на първия израз с x. Въпросът ми е относно вторите скоби. Забелязах 2 неща: Първото е че този израз е всъщност развитие на [tex]e^{\frac{1}{x}}[/tex]по реда на Маклорен до 3ти елемент. Но също така забелязах, че числото е, което всъщност = [tex](1+\frac{1}{x})^{x}[/tex], повдигнато на степен [tex]\frac{1}{x}[/tex] дава точно [tex]1+\frac{1}{x}[/tex]. Та всъщност питам: каква е причината да използваме реда на Маклорен? Защо го развиваме точно до 3ти елемент? Защо намирането на тази граница не се получава чрез просто изкарване на най високата степен пред скоби и заместване с безкрайност? Има ли нещо общо между развитието на [tex]e^{\frac{1}{x}}[/tex] по реда на Маклорен, което всъщност е (1+[tex]\frac{1}{x}[/tex]+...+) и това че [tex]е^{\frac{1}{x}}[/tex]=(1+[tex]\frac{1}{x}[/tex]), по дефиниция за число на Ойлер.

Доста неясни неща станаха по тая задача и затова реших да пиша тук. Всякакви мнения са от полза!

[pipi langstrump]

Можеш да ползваш какъвто метод си искаш. Не е казано, че трябва да с решава с даден метод.
А експонентата е достстъчно да се развие само до първите 2 члена 1 + 1/х, всички други след умножението им по израза в скобите се нулират при граничния преход.

[play4u]

Е добре, аз пробвах няколко метода и получавам 1, 2 или 0. Никога 3. Какъв метод мога да използвам освен този за да стигна до 3?

[pipi langstrump]

Ами смятай какви методи или как ги ползваш, че всеки път стигаш до различен отговор.

[pipi langstrump]

Като разкриеш скобите, виждаш, че има само една граница, която не е тривиална и това е основната граница lim x([tex]\sqrt[x]{а}-1) = \ln a[/tex], която е хубаво да се знае.