Аналитична геометрия в равнина

[valkata97]

Задачата бе дадена на изпит, и се надявам някой да ми помогне с решението.

Точките А(2, -3) и В(5,1) са върхове на триъгълник АВС със страна x + 2y - 7 = 0 и медиана 5х - у - 13 = 0. Да се напише уравнението на височината а през върха С. Да се намери лицето на триъгълника.

Благодаря.

[Добромир Глухаров]

$5+2.1-7=0\Rightarrow B\in BC:x+2y-7=0$
$5.2-(-3)-13=0\Rightarrow A\in AM:5x-y-13=0$

$BC\cap AM:\begin{array}{|l}x+2y-7=0\\5x-y-13=0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x=3\\y=2\end{array}$

$\Rightarrow M(3;2)-среда\ на\ BC$

$x_C-x_M=x_M-x_B\Rightarrow x_C=2.3-5=1$

$y_C-y_M=y_M-y_B\Rightarrow y_C=2.2-1=3$

$C(1;3)$

$AB:\frac{x-2}{5-2}=\frac{y+3}{1+3}\Rightarrow 4x-3y=17$

$h_C:\alpha x+\beta y=1$

$C\in h_C\Rightarrow \fbox{\alpha .1+\beta .3=1}(1)$

$h_C\bot AB\Rightarrow -\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{1}{-\frac{4}{-3}}\Rightarrow\fbox{\frac{\alpha}{\beta}=\frac{3}{4}}(2)$

$(1)\cap(2)\Rightarrow \alpha=\frac{3}{15};\beta=\frac{4}{15}$

$\Rightarrow \fbox{h_C:3x+4y=15}$

$h_C\cap AB:\begin{array}{|l}3x+4y=15\\4x-3y=17\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x=\frac{\begin{array}{|rr|}15&4\\17&-3\end{array}}{\begin{array}{|rr|}3&4\\4&-3\end{array}}=\frac{-113}{-25}\\y=\frac{\begin{array}{|rr|}3&15\\4&17\end{array}}{\begin{array}{|rr|}3&4\\4&-3\end{array}}=\frac{-9}{-25}\end{array}$

$C_1\left(\frac{113}{25};\frac{9}{25}\right)$

$S=\frac{1}{2}AB.CC_1=\frac{1}{2}\sqrt{(5-2)^2+(1-(-3))^2}.\sqrt{\left(1-\frac{113}{25}\right)^2+\left(3-\frac{9}{25}\right)^2}$

$S=\frac{1}{2}.5.\frac{\sqrt{88^2+66^2}}{25}=\frac{\sqrt{12\ 100}}{10}=11$

[grafinq_g]

Здравейте! Трябва да направя триизмерна фигура - куб с равнина в него. Бихте ли ми помогнали с формулите, които трябва да използвам?