Математически анализ фми изпит

[vgvalentin]

Здравейте! Имам проблем с 8ма задача по-долу. Производната в 0 е -3/32. Знам какъв е подходът за решаване,но стигам до едно място и не мога да продължа, или може би бъркам производната. Може ли помощ?

[Knowledge Greedy]

По задача 8.
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{9}[ln(1+sin^2x)-x+3], & x\le0 \\
\frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x}, & x>0
\end{matrix}\right.[/tex]

Лява производна
[tex]f'_{-}(x)=\frac{1}{9}\left (ln(1+sin^2x)-x+3 \right )'=\frac{1}{9}\left ( \frac{2sinxcosx}{1+sin^2x}-1 \right )[/tex]
[tex]f'_{-}(0)=-\frac{1}{9}[/tex]

Дясна производна
[tex]f'_+(x)=\left ( \frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x} \right )'=[/tex][tex]\frac{(\sqrt[5]{1+x})'.x-(\sqrt[5]{1+x}-1).1}{x^2}[/tex][tex]=-\frac{5x+4-5\sqrt[5]{(1+x)^4}}{5x^2\sqrt[5]{1+x}}[/tex]

Явно [tex]\lim_{x \to 0+\epsilon}f'_+(x)=-\infty[/tex]

Не би трябвало да има спор, че [tex]f'(x)[/tex] е прекъсната в нулата, с невъзстановимо прекъсване.
_______________
С цялото ми уважение към колегата, който Ви е дал тази задача, заключението не е вярно. В [tex]x=0[/tex], така зададената функция не притежава производна.

[pipi langstrump]

Корена е трети, а не пети.
А и е по-лесно директно да се сметне дясната производна в нулата, отколкото да се намира като функция и да ѝ се търси границата.

[Knowledge Greedy]

Хм,...
Ако [tex]\varphi (x)= \sqrt[3]{1+x}[/tex] има производна, дефинирана в нулата, то границата [tex]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}=\varphi'(0)[/tex].
Следователно, поради [tex]\varphi' (x)= \frac{1}{3\sqrt[3]{(1+x)^2}}[/tex], би трябвало [tex]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{3}[/tex].

Но отново не съвпадат лявата и дясната производна
___________
Благодаря за идеята, pipi langstrump!

[pipi langstrump]

Имаме

$f_{+}'(x) = \lim_{x \to 0, x>0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0 , x>0} \frac{\frac{\sqrt[3]{1+x} -1}{x} -\frac{1}{3}}{x}$

Тая граница трябва да се намери.

[Knowledge Greedy]

Да, прав си. Стойност в нулата [tex]f(x)[/tex] не притежава, но ще я заменим с границата ѝ [tex]\frac{1}{3}[/tex] при [tex]x\rightarrow 0[/tex]
Така дясната производна в нулата определяме
[tex]f'_+(0) =\lim_{x \to 0+\epsilon}\frac{\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}-\frac{1}{3}}{x-0}=\lim_{x \to 0+\epsilon}\frac{3\sqrt[3]{1+x}-x-3}{3x^2}=\lim_{x \to 0+\epsilon}\frac{(1+x)^{\frac{-2}{3}}-1}{6x}=\lim_{x \to 0+\epsilon}\frac{-\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{-5}{3}}}{12}=-\frac{1}{9}[/tex]
Значи действително [tex]f(x)[/tex] е диференцируема в нулата!
Още веднъж благодаря, pipi langstrump !

[pipi langstrump]

Как да няма.стойност в 0, погледни внимателно условието, за левия клон на функцията имаме нестрого неравенство и стойността в нулата се получава просто като положим 0 в израза, който задава лявата част на функцията. А и елементарна логика - не може една функция да има производна в една точка, пък да не е дефинирана в нея.

[pipi langstrump]

Ето дясната граница на f', при х~>0



Лявата и дясната граници на f' при х~> 0 (не лява и дясна производна) са равни, значи f' е непрекъсната в 0-та, значи и в целия интервал.