Висша математика 1

[cw3ti]

Здравейте, ще ви помоля за малко помощ, защото нещо не ми се получават задачите

[Davids]

$a$ заместваме с цифра от факултетен номер или го третираме като параметър?

[cw3ti]

[tex]\alpha[/tex] заместваме с цифра от факултетния номер.

[Davids]

[tex]\alpha[/tex] заместваме с цифра от факултетния номер.

Е коя е тя де?

[cw3ti]

1

[Davids]

Първа задача:
1)
$log_3x + 3log_x3 = 4$
$log_3x + 3.\frac{1}{log_3x} = 4$
Полагаме $t = log_3x$ с допустима стойност (още от горе): $x > 0$
$t + \frac{3}{t} = 4$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$t_1 = 1 \Rightarrow log_3x = 1 \Rightarrow x = 3$
$t_2 = 3 \Rightarrow log_3x = 3 \Rightarrow x = 27$
И двете са решения.

2)
$sin2x - cosx + 4sinx = 2$
$2sinxcosx + 4sinx = cosx + 2$
$2sinx(cosx + 2) = cosx + 2$
$(2sinx - 1)(cosx + 2) = 0$
Вторият множител е строго положителен, следователно остава:
$2sinx - 1 = 0$
$sinx = \frac{1}{2}$
Оттам вече $x = (\frac{1}{6} + 2k)\pi \cup (\frac{5}{6} + 2k)\pi$, където $k \in Z$

[Davids]

Втора задача:
Погледни тук за умножението и тук за събиране/изваждане на матрици. Информация, примери, общо взето всичко, така че и аз да го схвана

Имаш матрицата [tex]A = \begin{pmatrix} 1&1&-1\\-1&1&1\\1&1&0 \end{pmatrix}[/tex]. Повдигайки я на втора степен, реално имаш да я умножиш по същата матрица. Методът ред по колона е описан в линка по-горе.
Започваш едно по едно:
$c_{11} = 1.1 + 1.(-1) + (-1).1 = -1$
$c_{21} = -1.1 + 1.(-1) + 1.1 = -1$
$c_{31} = 1.1 + 1.(-1) + 0.1 = 0$
$c_{12} = 1.1 + 1.1 + (-1).1 = 1$
$c_{22} = -1.1 + 1.1 + 1.1 = 1$
$...$
$c_{33} = 1.(-1) + 1.1 + 0.0 = 0$

Така имаш $A^2 = \begin{pmatrix} -1&1&0\\-1&1&2\\0&2&0 \end{pmatrix}$

Втората стъпка е да намериш $2A$, което става като чисто и просто умножиш всеки член на матрицата с даденото число:
$2A = \begin{pmatrix} 2&2&-2\\-2&2&2\\2&2&0 \end{pmatrix}$

Сега остава да извадиш двете новополучени матрици, като просто извадиш съответстващите им членове един от друг (понеже са от един и същи тип):
$f(A) = A^2 - 2A = \begin{pmatrix} -1&1&0\\-1&1&2\\0&2&0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2&2&-2\\-2&2&2\\2&2&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3&-1&2\\1&-1&0\\-2&0&0 \end{pmatrix}$

[Davids]

За пета задача можеш наистина сама да се оправиш, смятам. Прочети малко за обратни матрици (и кога съществуват), другото са метрични действия.

Минавам на шеста, че пета е много механичен труд
Върховете са $A(1,1)$ и $C(3,3)$
Разстоянието между точките (т.е. диагоналът на квадрата) има дължина:
$d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (1-3)^2 + (1-3)^2 = 8$
$\Rightarrow d = 2\sqrt{2}$
Но за диагонала на квадрата знаем, че е равен на $\sqrt{2}$ по страната му, следователно
$d = 2\sqrt{2} = \sqrt{2}a \Rightarrow a = 2$
Откъдето вече е лесно да намерим координатите на другите върхове:
$B(x_A + a, y_A) = B(3, 1)$
$D(x_A, y_A + a) = D(1, 3)$

Лицето остава $S = a^2 = 4cm^2$

Някой с по-добра научна подготовка в сверата да помага с доказателства/подходи, аз само обобщавам нагледното през призмата на десетокласник

[cw3ti]

Благодарско!

[DrEaM97]

1,3,5

[Nathi123]

1.зад. f(x)=[tex]x^{3}-6x\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} -6 =3(x^{2}-)=3(x-\sqrt{2})(x+ \sqrt{2})\Rightarrow f'(x) > 0[/tex]при [tex]x\in (-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty ) \Rightarrow[/tex] за тези х функцията е монотонно растяща и за [tex]x\in (-\sqrt{2},\sqrt{2})\Rightarrow f'(x) <0 \Rightarrow f(x)[/tex] e монотонно намаляваща .
[tex]\Rightarrow x = \sqrt{2}[/tex] е точка на локален максимум и [tex]f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}[/tex]
[tex]x = \sqrt{2}[/tex] e точка на локален минимум и [tex]f(\sqrt{2} ) = - 4\sqrt{2} .[/tex]
[tex]\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\lim_{x \to \pm\infty}(x^{3}-6x)=\pm\infty[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] екстремумите са локални,а не абсолютни.
[tex]f'' (x) = 6x; f'' (x) > 0 \Leftrightarrow x>0 ; f'' (x) <0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow x = 0[/tex] e инфлексна точка ( около нея се сменят интервал на изпъкналост на функцията с интервал на вдлъбнатост ).

[Nathi123]

3. зад. f(x) = [tex]= e^{x}\Rightarrow f'(x) = e^{x} >[/tex] за [tex]x\in (-\infty,+\infty) \Rightarrow[/tex] функцията е строго растяща в цялата си деф. област и затова няма нито локални,нито абсолютни екстремуми .
[tex]f'' (x) = e^{x}\Rightarrow f'' (x) >0 \Rightarrow[/tex] функцията е изпъкнала и няма инфлексни точки.

[Nathi123]

5. зад. f(x) = [tex]\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\Rightarrow x\ne 0 ; f(x) = \frac{1}{2}x - 2.x^{-1}\Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^{2}}\Rightarrow f'(x ) > 0 , x\ne 0[/tex].
[tex]\Rightarrow f(x)[/tex] растяща за [tex]x\ne 0 \Rightarrow[/tex] f(x) няма екстремуми.
[tex]f '' (x) = -4x^{-3}=- \frac{4}{x^{3}}\Rightarrow f'' (x) < 0[/tex] при x>0 . Т.е. за тези х функцията е вдлъбната и при x<0 f'' (x) >0 [tex]\Rightarrow[/tex] за тези х функцията е изпъкнала . x=0 не е от деф. област на функцията,затова няма инфлексни точки.