Определен интеграл

[stflyfisher]

Да се пресметне:

[tex]I = \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{tgx}}[/tex]

[Anubis]

Полагаме [tex]\sqrt{\tan x} = u \ge 0[/tex], откъдето [tex]\tan x = u^2, \, x = \arctan u^2[/tex] и [tex]\operatorname{d}x = \frac{2u \operatorname{d}u}{1+u^4}[/tex]. Новите граници на интеграла са

[tex]a = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}[/tex] и [tex]b = \sqrt[4]{3}[/tex]. С непосредствено заместване получаваме

[tex]I = \int_{a}^{b} \frac{2u \operatorname{d}u}{(1+u)(1+u^4)} = \int_{a}^{b} \left ( \frac{u^3-u^2+u+1}{1+u^4} - \frac{1}{u+1} \right ) \operatorname{d}u[/tex].

Нека [tex]I_{1} = \frac{1}{4}\int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}(u^4+1)}{1+u^4} - \int_{a}^{b} \frac{u^2 \operatorname{d}u}{1+(u^2)^2} +
\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}(u^2)}{1+(u^2)^2} + \int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}u}{1+u^4}[/tex] и [tex]I_{2} = \int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}u}{u+1}[/tex].

Тогава [tex]I = I_{1}-I_{2}[/tex]. Вторият интеграл се изчислява веднага. Можеш ли да пресметнеш [tex]I_{1}[/tex]?

[kmitov]

Aко се справи с последния интеграл в $I_1$. Там знаменателя се разлага на $(u^2-\sqrt{2}u+1)(u^2+\sqrt{2}u+1)$.

[DrEaM97]

Имам нужда спешно да се решат едни интегралчета!!!

[DrEaM97]

Тези заградените