Висша математика граници

[vtec]

Математиката не ми се отдава, но се опитвам да вникна в начина за решение и въпреки това не съумявам да позлвам изучаваните методи.

[Knowledge Greedy]

1. Решението се основава на една основна граница [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin U}{U}=1[/tex]
Търсим [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin 4x}{3x}[/tex]
Умножаваме и числителя, и знаменателя по 4.
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{4sin 4x}{4.3x}[/tex]
В знаменателя разменяме местата на четири и три
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{4sin 4x}{3.4x}[/tex] и обособяваме като отделен множител дробта [tex]4/3[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin 4x}{3x}=\frac{4}{3}.\lim_{x \to 0}\frac{sin 4x}{4x}=\frac{4}{3}.\frac{sin U}{U}=\frac{4}{3}.1=\frac{4}{3}[/tex] - като в последния ред сме си представили, че [tex]4x=U[/tex].

Това решение се иска от Вас, а какво се случва с величините може да проследим по следните таблици.
Главната цел е да видим когато [tex]x[/tex] се приближава към [tex]0[/tex], към кое число се приближава [tex]\frac{sin 4x}{3x}[/tex] в третия ред.
Както се очаква, компютърът не дава резултат при делението нула на нула - сивото поле и в двете таблици.
Но когато стъпката на [tex]x[/tex] става по-малка, се забелязват повтарящи се стойности (в зелените полета).

Граница синус 4х върху 3х.png (16.89 KiB) Прегледано 601 пъти

При следващото намаляване стъпката на [tex]x[/tex] - при още по-близкото му приближаване до нулата, в третия ред се срещат все повече съвпадащи знаци (в зелените полета) в стойностите на [tex]\frac{sin 4x}{3x}[/tex]

Граница синус 4х върху 3х вътрешен интервал.png (15 KiB) Прегледано 601 пъти

Това е и смисълът на границата на [tex]\frac{sin 4x}{3x}[/tex].
При [tex]x[/tex] доближаващо се до нула, съответните стойности на [tex]\frac{sin 4x}{3x}[/tex] се доближават до [tex]\frac{4}{3}=1,33333...=1,(3)[/tex]
При означаване на границата 4/3=1,333... може да си слухим със стрелка [tex]\frac{sin 4x}{3x} \,\ \rightarrow \,\ 1,333...[/tex], точно така както показвахме накъде се е запътило [tex]x[/tex], при [tex]x \,\ \rightarrow \,\ 0.[/tex]

[Knowledge Greedy]

2. Решението се основава на една основна граница [tex]\lim_{x \to \infty}\left (1+\frac{1}{x} \right )^x=e[/tex],
където с [tex]e[/tex] е означено едно заслужило число [tex]e=2,718182...[/tex] - безкрайна, непериодична, десетична дроб.
Трябва да намерим [tex]\lim_{x \to \infty}\left (1+\frac{1}{x} \right )^{6x}[/tex]
Представяме границата така (защото сме сигурни, че съществува - така е казал задаващият задачата):
[tex]\lim_{x \to \infty}\left (1+\frac{1}{x} \right )^{6x}= \lim_{x \to \infty} \left [ \left (1+\frac{1}{x} \right )^{x} \right ]^6=\left [ \lim_{x \to \infty}\left (1+\frac{1}{x} \right ) ^{x} \right ]^{6}=e^6[/tex]

[Knowledge Greedy]

Отговори:
3.) [tex]-\infty[/tex]
4.) 0 (нула)
5.) [tex]\frac{cosx}{1+sin^2x}[/tex]
6.) [tex]\frac{2}{x^2-1}[/tex]
7.) [tex]\frac{-sinx}{1+cos^2x}[/tex]
8.) [tex]y'=3e^{3x}+4cos4x[/tex]
[tex]y''=9e^3{x}-16sin4x[/tex]
[tex]y'''=27e^3{x}-64cos4x[/tex]

9.) [tex]y'''=8e^{2x}-27sin3x[/tex]
10.) Расте в [tex](-\infty;-2)[/tex]
намалява в [tex](-2;0)[/tex]
отново расте в [tex](0;+\infty)[/tex]
[tex]y_{max}=y(-2)=...[/tex] смятай
[tex]y_{min}=y(0)=...[/tex] смятай

11.) Интервалите са [tex](-\infty;0)[/tex]
[tex](0;2)[/tex]
и [tex](2;+\infty)[/tex]
Прецени , в кой интервал какво се случва и
смятай [tex]y(0)=...[/tex] и [tex]y(2)= ...[/tex], ... прецени кое какво е

[vtec]

Искренни благодарности. Открих си грешките при 3-та,5-та и 7-ма задача. Другите писах по няколко пъти, но сега се оказват верни, явно трябва да съм малко по-уверен в себе си.
10-та и 11 са Ок, след малко ще си направя и графиките, интересно ми е