интеграли и производни

[mihity97]

факултетния номер е 13607

[KOPMOPAH]

И какъв е въпросът?

Има едно твърдение с правописна грешка за факултетния номер и една снимка... Можеш ли да покажеш поне малко старание, като изчислиш $p$ и $q$ (задача за 6 клас, ако ученикът не е мързелив фотограф)

[mihity97]

Извинявай, че не съм ги написала "p=2 , q=19". Пуснала съм публикацията не за да ме критикувате, а защото търся помощ и имам затруднения...

[KOPMOPAH]

Затруднението се състои в това, че въобще не знаеш какво да правиш, нали?

Да започнем с първа задача. Функцията, която ще изследваме, начертана в http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x%5E2+%2B19y%5E2-xy-2x-19y%2B5,+x%3D0..1,+y%3D0..1 (много добра програма, препоръчвам ти я), изглежда така:

Функция на две променливи.gif (16.59 KiB) Прегледано 424 пъти

Първо малко теория, за да разбереш какво се прави в такива случаи.
За да има една функция на две променливи $z=f(x,y)$ екстремум в някоя точка $M_0$ с координати $x_0$ и $y_0$, НЕОБХОДИМО условие е частните производни $z'_x(M_0)$ и $z'_y(M_0)$ да са равни на нула в тази точка.
Намираме въпросните частни производни
$z'_x=4x+0-y-2-0-0=4x-y-2$
$z'_y=0+38y-x-0-19-0=38y-x-19$
Правим система линейни уравнения
[tex]\begin{array}{|l} 4x-y-2=0\\ 38y-x-19=0 \end{array}[/tex]
и като я решим по някой от познатите начини, получваме леко смущаващите, но верни стойности за координатите на точката $M_0 \left(\frac{95}{151},\frac{78}{151}\right)$
Но, за съжаление, това не е всичко. Трябва да се намерят частните производни от втори ред $z''_{xx}(M_0)$, $z''_{xy}(M_0)$ и $z''_{yy}(M_0)$. Ще въведем узначенията $z''_{xx}(M_0)=A$, $z''_{xy}(M_0)=B$ и $z''_{yy}(M_0)=C$, за да дефинираме ДОСТЪЧНОТО условие за екстремум в точката $M_0$, а именно: ако $AC-B^2>0$ то функцията има екстремум в точката, и то при $A>0$, това е минимум, а при $A<0$ - максимум.
Изчисляваме плашещите и трудни за изписване, но лесно изчислими
$z''_{xx}=4-0-0=4$, $z''_{xy}=0-1-0=-1$ и $z''_{yy}=38-0-0=38$, виждаме как $AC-B^2>0$, следователно имаме минимум.
Безграничната жестокост на задачата изисква "Да се намерят екстремумите ...", което означава да се заместят стойностите за координатите на точката $M_0$ в израза $z=2x^2+19y^2-xy-2x-19y+5$ и да се сметне изразът $2 \left(\frac{95}{151}\right)^2+19\left(\frac{78}{151}\right)^2- \left(\frac{95}{151}\frac{78}{151}\right)-2 \left(\frac{95}{151}\right)-19\left(\frac{78}{151}\right)+5=\cdots$
Найс, а?

[mihity97]

Благадаря ти , а можеш ли да ми обясниш и помогнеш с интегралите, че там имам още по-големи затруднения