Висша математика

[mehmed123]

Здравейте, бихте ли ми помогнали със следните задачи. Благодаря много

[KOPMOPAH]

1. Задача
Класически пример за интегриране по части. Общата формула е [tex]\int u\,dv =uv-\int v\,du[/tex], в случая имаме $\int x \cos x dx = \int x d(\sin x) = x \sin x - \int \sin x dx = x\sin x +\cos x + C$, като са ти известни границите ($0$ и $\pi$), можеш лесно да изчислиш определения интеграл.

[KOPMOPAH]

2. Задача
В нея (ако това може да се разбере от лаконично написаното от тебе условие) се търси лицето на триъгълника, образуван от осите $O_x$, $O_y$ и графиката на функцията $x+y=2$. Двойният интеграл от $\iint\limits_{D}^{}x dx dy$ става на $\int\limits_{0}^{2}x dx \int\limits_{0}^{2-x}dy$ (виж в лекциите защо )

[Knowledge Greedy]

3.) За ЛДУ-то (линейното диференциално уравнение ) [tex]y'=A(x)y+B(x)[/tex]
има една формула
[tex]y=e^{\int A(x)dx}\left [ C+\int B(x)e^{-\int A(x)dx}dx \right ][/tex]
В нашия случай явно
[tex]A(x)=\frac{4}{x}[/tex]
[tex]B(x)=x^2[/tex]
Аз го сметнах така [tex]y=C\left (x^4-\frac{1}{x} \right )[/tex]
Провери да не съм сбъркал.

4.) Сумата на реда ако се търси, по-добре търси сума на степенен ред, от който се получава този.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{3^n}[/tex]
Такъв ред е очевидно
[tex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }(2n+1)x^{2n}[/tex]
Защо очевидно? Ами защото като заместим [tex]x=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex] и ще получим нашия ред
За да го сумираме, ще го сведем до геометричния ред, който се сумира още в средното училище.
Интегрираме [tex]\int f(x)dx = \int \sum_{n=1}^{\infty }(2n+1)x^{2n} dx[/tex]
(Надяваме се, че е в областта на сходимост
Полученият интеграл
[tex]F(x)= \sum_{n=1}^{\infty }\int(2n+1)x^{2n} dx=\sum_{n=1}^{\infty }x^{2n+1}=\frac{x^3}{1-x^2}+C[/tex]
ни позволява с диференциране да намерим първоначалния [tex]f(x)[/tex]
[tex]f(x)=F'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{x^3}{1-x^2} \right )=\frac{3x^2-x^4}{(1-x^2)^2}[/tex]
Остава да заместим
[tex]x=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
и
[tex]f\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \right )=\frac{3.\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{3} \right )^2}{\left (1- \frac{1}{3} \right )^2}=2[/tex]
Следователно
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{3^n}=2[/tex]

Ако нещо друго се е търсело, попитай и напиши.
В задача 5.) представи комплексното число [tex]\sqrt{3}-i[/tex]
така [tex]2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \right )[/tex],
после в тригонометричен вид и използвай формулата на Моавър.
Аз получих [tex]k=4096[/tex]. Проверѝ да не съм сбъркал в бързането.

По първа задача не видях KOPMOPAH » Пет Май 26, 2017 10:59 pm дd ти е написал отговора, за това записвам и отговора
[tex]\int\limits_{0}^{\pi}xcosxdx=(xsinx+cosx) \left |\begin{matrix}
x =\pi \\
\\
\\
x=0
\end{matrix}\right . =...=-2[/tex]

Един определен интеграл.png (5.95 KiB) Прегледано 404 пъти

[KOPMOPAH]

Не съм написал отговора, за да оставя възможност на питащия да довърши задачата . Тя е много интересна и с това, че се получава отрицателна стойност за лице на фигура - нещо, което един човек, решаващ двойни интеграли, трябва да може да си представи и обясни