Изследване на функция

[liaa20]

Дадена е ф-ята f(x) =[tex]\frac{x^3}{e^4x}[/tex]
а) oпределете поведението и в краищата на дефиниционните и интервали и асимптотите и
б) намерете интервалите на монотонност и локалните екстремуми

[xixibg]

Може би имаш предвид това:
[tex]f(x)=\frac{x^3}{e^{4x}}[/tex]

Защото написаното от теб условие няма много смисъл.

[liaa20]

да, точно това е задачата. Благодаря ви за корекцията.

[Добромир Глухаров]

а.) $D.O.:\ x\in(-\infty;+\infty)$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^3e^{-4x})=-\infty$

$\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}(x^2e^{-4x})=+\infty$

$\Rightarrow$ за $x\to-\infty$ $f(x)$ неограничено намалява и няма асимптота.

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^{4x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^3)'''}{(e^{4x})'''}=\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{4^3.e^{4x}}=0$

$\Rightarrow$ за $x\to+\infty$ абсцисната ос е хоризонтална асимптота.

б.) $f'(x)=\frac{3x^2.e^{4x}-x^3.4e^{4x}}{e^{8x}}=\frac{3x^2-4x^3}{e^{4x}}=x^2.e^{-4x}.(3-4x)$

$x\in(-\infty;\frac{3}{4})\to f'(x)\geq0\to$ $f(x)$ расте

$x\in(\frac{3}{4};+\infty)\to f'(x)\leq0\to$ $f(x)$ намалява

$x=\frac{3}{4}\to f(\frac{3}{4})=\frac{27}{64}e^{-3}\to$ локален максимум