Задачи за извънкласна работа по математика, теория на числат

[slav4o9405]

Привет, някой би ли ми помогнал със задачи от 3 вкл. до 10 вкл. или би ли ми дал някакви насоки. Много ще съм му благодарен. СПЕШНО Е! В рамките до 3-4 дни - до 19-20.07.2017 вкл.

zadachi.jpg (163.54 KiB) Прегледано 1077 пъти

[peyo]

Привет, някой би ли ми помогнал със задачи от 3 вкл. до 10 вкл. или би ли ми дал някакви насоки. Много ще съм му благодарен. СПЕШНО Е! В рамките до 3-4 дни - до 19-20.07.2017 вкл.

zadachi.jpg

Спешни задачи от преди 5 години! Супер!

CeeLo Green - Better Late Than Never
...
I've been waiting
Waiting and waiting
I've been waiting
You’re mine baby, ohh
...


10.
[tex]s(x,n) =\sum_{i=1}^{n }i x^{i-1}[/tex]

Прилича малко на сбор на геометрична прогресия с $r=x$. Ще се опитаме да приложим същия трик за намиране на формула на сумата както във википедия за геометричната прогресия.

[tex]x \cdot s(x,n) =\sum_{i=1}^{n }i x^{i} = \sum_{i=1}^{n }( ix^{i} +x^{i}- x^{i} )= \sum_{i=1}^{n }(i+1) x^{i} - \sum_{i=1}^{n }x^{i} =[/tex]

$\sum_{i=1}^{n }x^{i} = \frac{1-x^n}{ 1-x} -1 + x^n$ (взехме наготово формулата за сума на геометрична прогресия)

$\sum_{i=1}^{n }(i+1) x^{i} = s(x,n) - 1 + (n+1)x^n$

$ x s(x,n) = s(x,n) - 1 + (n+1)x^n - \frac{1-x^n}{ 1-x} +1 - x^n$

$ x s(x,n) - s(x,n) = nx^n- \frac{1-x^n}{ 1-x}$


[tex]s(x,n) = \frac{nx^n - \frac{1-x^n}{ 1-x}}{ x - 1}[/tex]

Това изглежда може да се опрости още малко, но не е важно. Да направим проверка с $n=10$ и $x=\pi$

Код: Избери целия код

In [105]: def f1(n,x):
     ...:     return sum(i*x**(i-1) for i in range(1,n+1))

In [107]: def f2(n,x):
     ...:     return (n*x**n- (1-x**n)/(1-x))/(x-1)
     ...:

In [109]: f1(10,math.pi), f2(10,math.pi), f1(10,math.pi) - f2(10,math.pi)
Out[109]: (416863.9233254519, 416863.9233254519, 0.0)

Много добре! Намерили сме вярната формула!

[peyo]

9.

Функционално уравнение! Аз казвал ли съм, че обичам функционални уравнения!
Търсим всички полиноми.

$f(1) =1$

[tex]f(x)+2 f(1-\frac{x}{2}) = 0[/tex]


Да видим някои частни случаи:

$x=0$

[tex]f(0)+2 f(1) = 0[/tex]
[tex]f(0)=-2[/tex]

$x=2$

[tex]f(2)+2 f(0) = 0[/tex]
[tex]f(2)=4[/tex]

Изглежда, че като сложим $x_n$ за което знаем $f(x_n)$ можем да намерим други $x_{n+1}$ за които да разберем $f(x_{n+1})$. Да видим дали не можем да намерим редица?

$f(x_n)+ 2 f(1-\frac{x_n}{2}) = 0$

$f(1-\frac{x_n}{2}) = -\frac{f(x_n)}{2}$

$x_{n+1} = 1-\frac{x_n}{2}$

$f(x_{n+1}) = -\frac{f(x_n)}{2}$

Да изчислим десетина стойности:

Код: Избери целия код

x_n = 1
f_n = 1
Px = [[x_n,f_n]]
for i in range(1,10):
    x_n1 = 1-x_n/2
    f_n1 = -f_n/2
    #print("x_%d=%f,  f(x_%d)=%f" %(i,x_n1,i,f_n1 ))
    x_n=x_n1; f_n=f_n1
    Px.append([x_n,f_n])

Px.sort()
Px

[[0.5, -0.5],
[0.625, -0.125],
[0.65625, -0.03125],
[0.6640625, -0.0078125],
[0.666015625, -0.001953125],
[0.66796875, 0.00390625],
[0.671875, 0.015625],
[0.6875, 0.0625],
[0.75, 0.25],
[1, 1]]

Хмм. Тези стойности изглеждат малко съмнителни. Да се опитаме да направим полином от 4-степен например от тях.

Код: Избери целия код

import numpy as np

X,Y = [p[0] for p in Px],[p[1] for p in Px]
np.polyfit(X,Y, 4)

array([ 1.40142689e-12, -4.18697583e-12, 4.58932591e-12, 3.00000000e+00, -2.00000000e+00])

ХA-ХА! Това казва, че права линия е най-доброто приближение. Да видим картинката!

In [125]: import matplotlib.pyplot as plt
In [126]: plt.plot(X,Y)
Out[126]: [<matplotlib.lines.Line2D at 0x187dfb58a90>]
In [127]: plt.show()

Figure_djhfgsdjhgdf.png (18.13 KiB) Прегледано 886 пъти

Ok, значи както каза и polyfit, това е права линия и отговора е:

$f(x) = 3x-2$

[pal702004]

Много интересна формулировка на 6-та задача: Докажете че число, което не съществува е съставно