Задачи за ДИ

[nelson88]

Някой, ако може да помогне за следните задачи. Благодаря!

[Hephaestus]

Задача 1. а) [tex]|x| + |y| = 2[/tex]
Ясно е, че [tex]|x| + |y| \ge 0[/tex] за [tex]\forall x, y \in R[/tex]. Оттук следва, че максималната стойност на [tex]|x|[/tex], при която е изпълнено уравнението, е равна на 2, което се достига при [tex]x = \pm 2[/tex]. Тогава [tex]y = 0.[/tex] Същото важи и за [tex]|y| \Rightarrow |y| = 2[/tex] при [tex]y = \pm 2[/tex] и тогава [tex]x = 0[/tex]. Тоест стойностите на [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], при които е изпълнено уравнението, са ограничени: [tex]x,y \in [-2;2][/tex].
При [tex]x \in (-2;0) |x| = -x \Rightarrow |y| = 2 + x \Rightarrow y = 2 + x \cup y = -2 - x[/tex]
При [tex]x \in (0;2) |x| = x \Rightarrow |y| = 2 - x \Rightarrow y = 2 - x \cup y = x - 2[/tex].
Аналогично за у. Изобразено върху координатната система изглежда така:

б)[tex]\begin{array}{|l} |x| + |y| = 2 \\ xy = 1 \end{array}[/tex] От второто уравн. [tex]\Rightarrow x = \frac{1}{y} , y \ne 0[/tex]. Заместваме в първото уравн. [tex]\Rightarrow |\frac{1}{y}| + |y| = 2[/tex]. При [tex]y \in (-\infty ; 0) \Rightarrow -\frac{1}{y} - y = 2 \Rightarrow y^2 + 2y + 1 = 0 \Rightarrow y_{1 } = y_{2 } = -1 \in (-\infty ; 0) \Rightarrow y = -1[/tex] е решение и тогава [tex]x = -1[/tex]. При [tex]y \in (0 ;+ \infty ) \Rightarrow \frac{1}{y} + y = 2 \Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 0 \Rightarrow y_{3 } = y_{4 } = 1 \in (0 ;+ \infty ) \Rightarrow y = 1[/tex] е решение и тогава [tex]x = 1[/tex]. Окончателно решенията на системата са [tex](-1;-1)[/tex] и [tex](1;1)[/tex].
в) [tex]\begin{array}{|l} |x| + |y| = 2 \\ xy = a \end{array}[/tex]
Ясно е, че системата няма да има решение, ако а е отрицателно число. Oт а) подточка ни е известно, че максималната стойност на произведението xy, при [tex]|x| + |y| = 2[/tex], е 1 [tex]\Rightarrow a \in [0;1][/tex].
При [tex]a = 0[/tex] се вижда, че [tex]x = 0[/tex] или [tex]y = 0[/tex]. При [tex]x = 0[/tex] получаваме [tex]y = \pm 2[/tex]. При [tex]y = 0[/tex] получаваме [tex]x = \pm 2[/tex]. Тоест при [tex]a = 0[/tex] имаме точно четири решения [tex](0;2), (0;-2), (2;0)[/tex] и [tex](-2;0)[/tex].
При [tex]a \in (0;1][/tex] от подточка б) се вижда, че системата ще има точно две решения при намерени x,y и те са (x;y) и (-х;-у).
Следователно, единственото решение на подточка в) е [tex]a = 0[/tex].

[Добромир Глухаров]

За в.) получавам $a\in(-1;1)$.

Ето нещо като схема:

ДИ.png (51.54 KiB) Прегледано 399 пъти

[Hephaestus]

За в.) получавам $a\in(-1;1)$.

Прав си, в) подточка съм я омотал.
a може и да е отрицателно число;
от подточка а), при [tex]|x|+|y| = 2[/tex], максималната стойност на произведението [tex]xy[/tex] е 1, а минималната е -1, т.е. [tex]a \in [-1;1][/tex].
от подточка б), при [tex]xy = 1[/tex], т.е. при [tex]а = 1[/tex] се вижда, че системата има две решения [tex](−1;−1) \cup (1;1)[/tex] (респективно и при [tex]xy = -1[/tex] [tex](a = -1)[/tex] решенията са [tex](−1;1) \cup (1;-1)[/tex]. Следователно при [tex]а = \pm 1[/tex] условието не е изпълнено.
Ако отбележим с u и v положителните стойности на решенията (те са две по две симетрични):
При [tex]a \in (-1;0)[/tex] системата има точно четири решения при намерени u,v, които са [tex](u;-v),(-u;v),(v;-u),(-v;u)[/tex]
При [tex]a = 0[/tex] - този случай съм го разгледал горе.
При [tex]a \in (0;1)[/tex] системата има точно четири решения при намерени u,v, които са [tex](u;v),(-u;-v),(v;u),(-v;-u)[/tex].
Тоест решението на в) наистина е [tex]\forall a\in(-1;1[/tex]), а [tex]a = 0[/tex] си е включен в този интервал.
Благодаря на Добромир Глухаров за своевременната поправка!

[Hephaestus]

Втора задача може бързо да се реши при наличие на точен чертеж. Моят е малко нескопосан, но върши работа, колкото да се разбере идеята:

а) По условие около четириъгълника [tex]AKOD[/tex] може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow \angle A + \angle O = 180^\circ[/tex] и [tex]\angle K + \angle D = 180^\circ \Rightarrow \angle ADB = \angle D = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ[/tex].
Означаваме [tex]\angle A = \alpha, \angle B = \beta[/tex]. Триъгълниците KBO и NBO са еднакви (OB - обща хипотенуза, NO = KO = r) [tex]\Rightarrow \angle KBO = \angle NBO = \frac{\beta}{2} \Rightarrow \angle NOB = 90^\circ - \frac{\beta}{2}[/tex]. Аналогично за триъгълниците NOC и MOC.
[tex]\angle MCN = 180 ^\circ - \beta \Rightarrow \angle NCO = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \Rightarrow \angle NOC = \frac{\beta}{2}[/tex]. Тогава [tex]\angle COB = \angle NOB + \angle NOC = 90^\circ - \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ[/tex]
б) [tex]\angle A + \angle O = 180^\circ \Rightarrow \angle О = 180^\circ - \alpha \Rightarrow MOD = \alpha[/tex]
[tex]tg\alpha = \frac{DM}{MO} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^\circ[/tex].
[tex]\angle KBO = 180^\circ - \angle ADB - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \Rightarrow \angle B = \beta = 2\angle KBO = 60^\circ \Rightarrow[/tex]трапецът ABCD е равнобедрен (AD = BC). Построяваме [tex]CH = MK = 2r = 2\sqrt{3} - височина[/tex]
[tex]sin\beta = \frac{CH}{BC} \Rightarrow BC = 4[/tex].
в) [tex]cos\alpha = \frac{AD}{AB} = \Rightarrow AB = 8[/tex].
В триъгълника NOC (правоъгълен) [tex]\Rightarrow NC = tg\frac{\beta}{2}.r =\frac{1}{\sqrt{3}}. \sqrt{3} = 1[/tex]
[tex]MC = NC = 1[/tex] (разстояние от външна точка към окръжност)
[tex]CD = DM + MC = 4 \Rightarrow AB : CD = 8 : 4 = 2 : 1[/tex]
г) [tex]S_{ABCD } = \frac{AB + BC}{2}.CH = 6.2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} cm^{2}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Задача 3.

а) По индукция:

1) $0<\frac{1}{6}<\frac{1}{3}\Rightarrow 0<a_1<\frac{1}{3}$
2) Нека $0<a_n<\frac{1}{3}\Rightarrow 0<a_n^2<\frac{1}{9}\Rightarrow \frac{2}{9}<a_n^2+\frac{2}{9}<\frac{1}{9}+\frac{2}{9}$
$\Rightarrow 0<a_n^2+\frac{2}{9}<\frac{3}{9}\Rightarrow 0<a_{n+1}<\frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ съгласно МПМИ (Метода на пълната математична индукция) $0<a_n<\frac{1}{3}\ \forall n\in\mathbb{N}$

б) Образуваме разликата $\Delta=a_{n+1}-a_n=a_n^2+\frac{2}{9}-a_n=\frac{9a_n^2-9a_n+2}{9}$
Разглеждаме квадратния тричлен $9t^2-9t+2=(3t-2)(3t-1)>0$ за $t\in\left(0;\frac{1}{3}\right)$
$\Rightarrow \Delta>0\Rightarrow \{a_n\}$ е монотонно растяща.

в) Редицата е монотонно растяща и ограничена отгоре, следователно е сходяща. Нека $\lim_{n\to\infty}a_n=l$. $a_{n+1}=a_n^2+\frac{2}{9}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_n^2+\frac{2}{9}\Rightarrow l=l^2+\frac{2}{9}\Rightarrow 9l^2-9l+2=0\Rightarrow l_{1,2}=\frac{1}{3};\frac{2}{3}$, но $l_2=\frac{2}{3}$ не може да бъде точка на сгъстяване на $\{a_n\}$, понеже $\exists$ околност, която не съдържа нито една стойност на $\{a_n\}$ $\Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{3}$.

[nelson88]

Много благодаря!