Диференциално смятане - Помощ

[scorpion4ever]

Здравейте! Нов съм във форума и отскоро съм и висшист. От малък още не съм много много на "ти" със математиката и сега дори още повече. Имаше период през 11-12 клас в който прихванах как се решават някои задачи тук там и завърших с 5ца. Но понеже не ми остава грам време да ходя на лекции защото работя ... намирам се в ситуация в която парите са ми по нужни от всякога и нямах възможността да науча задачите .. бих искал да Ви помоля за малко помощ! Било то някоя друга решена задача или нещо като пояснение/обяснение за някоя функция или каквото и да е . Наистина .. не бих стигнал до това да пиша по форуми с молба за обяснения, но предпочитам това от колкото да дам парите които и без това са малко за уроци по математика... Не знам как ще прозвучи ... но наистина Ви моля и ще съм благодарен !
https://imgur.com/a/QU1aL

Лека вечер на всички !

[KOPMOPAH]

Молбата ти за

...за малко помощ! Било то някоя друга решена задача или нещо като пояснение/обяснение за някоя функция или каквото и да е . Наистина .. не бих стигнал до това да пиша по форуми с молба за обяснения, но предпочитам това от колкото да дам парите които и без това са малко за уроци по математика...

ме впечатли. Все пак ако трябва да се избира дали да се дават пари за уроци по математика или цигари, мисля че изборът трябва да не е в полза на тютюневия бранш.

И така, започвам с поясненията/обясненията за някоя функция или каквото и да е
Зад. 1. Пресметнете $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$, $f(\frac 12)$, $f(2)$, $f(-2)$, ако $f(x)=x2^x$
За да се реши тази задача трябва просто да се замести със съответните стойности, т.е. да намериш колко е $0.2^0$, $1.2^1$, $-1.2^{-1}$, $\frac 12.2^{\frac 12}$, $2.2^2$ $(-2).2^{-2}$ Този материал трябва да си го учил по времето, когато си завършил с "5ца".

Зад. 2. Да се намерят $\varphi(t^2)$ и $[\varphi(t)]^2$, ако:
а) $\varphi(t)=t^3+1$; б)$\varphi(t)=\cos t$

a) $\varphi(t^2)=(t^2)^3+1=t^6+1$, $[\varphi(t)]^2=(t^3+1)^2=t^6+2t^3+1$
б) $\cos t^2$, $\cos^2 t$

[scorpion4ever]

... Много благодаря наистина!! ... Толкова много съм зает че дори и самите задачки нямам възможност да погледна ... тази първата ще се справя с нея .. но останалите .. не съм сигурен...

[KOPMOPAH]

Зад. 3. Дадени са функциите $f(x)=x-e^x$, $g(x)=\sin x$ и $h(x)=x^3$. Да се намерят функциите $f(g(x))$, $g(f(x))$ и $h(g(f(x)))$.
Решава се (без никакво чудене) със заместване във формулата за $f(x)$, като вместо $x$ слагаш $g(x)=\sin x$ и става $\sin x-e^{\sin x}$. По същия начин се прави и за $g(f(x))=\sin (x-e^x)$. Виж, за $h(g(f(x)))$ трябва малко да се напънеш и да направиш така $h(x)=x^3 \Rightarrow h(g(f(x)))=\sin^3 (x-e^x)$

Зад. 4. Да се изследват за четност функциите $F(x)=x^4-2x^2+5$, $\Phi(z)=z^3-5z+\sin z$ и $f(x)=tg\;x+\frac 3{x^2}$
Както е известно (или би трябвало да е известно за решаващия), четни се наричат тези функции, при които смяната на знака на аргумента не влияе на крайния резултат или накратко $f(x)=f(-x)$. Типичен пример за това е $f(x)=x^2$. Тъй като $x^2=(-x)^2$, то тази функция е четна. Помни се лесно, защото степенният показател е четното число $2$. Разсъждавайки така, ще стигнем до извода, че всички функции с четни показатели са четни, а ако продължим хода на разсъжденията, ще видим, че всички линейни (и не само) комбинации на четни фунции също дават четни функции. Но да не стигаме чак до там.
Да се върнем на задачата. Вижда се с невъоръжено око, че $F(x)=F(-x)$, а $\Phi(-z)=(-z)^3-5(-z)+\sin (-z)=-\Phi(z)$. Второто равенство ни подсеща за критерия дали една функция е нечетна, а именно $f(-x)=-f(x)$.
Що се отнася до $f(x)=tg\;x+\frac 3{x^2}$, тука имаме любопитната комбинация от нечетна ($tg\;x$) и четна ($\frac 3{x^2}$) функции. Както обикновено при смесване на несъвместими неща не се получава нищо смислено и функцията $f(x)=tg\;x+\frac 3{x^2}$ не е нито четна, нито нечетна.

[KOPMOPAH]

Пета задача ни връща във времената, когато си прихванал как се решават някои задачи и си изкарал "5ца". Опитай се д си припомниш как точно се определя дефиниционното множество на една функция. Казано с други думи - къде тази функция е определена или за кои стойности на променливата функцията има мисъл (да няма $0$ в знаменател, отрицателно число под корен или логаритъм и т.н.)

Шеста задача кой знае защо е след седма и осма. Няма обяснение, както и няма никакво диференциално смятане в темата, наречена наречена "Диференциално смятане"...

За седма задача ти трябва милиметрова хартия, калкулатор и умение да отразиш на координатна система числа.

[aifC]

9) Зад
9.1)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x-3} = \frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{(x+1)} = \frac{3}{4}[/tex];

9.2)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}+2x-3}{3-x} - дивергира[/tex];

9.3)[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \frac{(x^{2}-1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2x-2} = \frac{(x+1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}[/tex]
9.4)[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin(3x)}{sin(x)cos(3x)} = \frac{cos(3x)3}{cos(x)cos(3x)-3sin(3x)sin(x)} = 3;[/tex]

[KOPMOPAH]

$9.5$ Трябва да се извършат действията в скобите така:
[tex]\lim_{x \to 2} \left( \frac{x-1}{x-2}-\frac 4{x^2-4} \right)=\lim_{x \to 2} \left( \frac{x-1}{x-2}-\frac 4{(x-2)(x+2)} \right)=\lim_{x \to 2} \left( \frac{(x-1)(x+2)-4}{(x-2)(x+2)} \right)=\lim_{x \to 2} \left( \frac{(x^2+x-2-4}{(x-2)(x+2)} \right)=\lim_{x \to 2} \left( \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \right)=\lim_{x \to 2} \left( \frac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} \right)=\frac 54[/tex]
$9.6$ В такива задачи се умножава по същия израз, но с обратен знак:
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt {x^2-2} -x)=\lim_{x \to \infty} \left( \frac{(\sqrt {x^2-2)}-x)(\sqrt {x^2-2)}+x)}{\sqrt {x^2-2} +x}\right)=\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2-2-x^2}{\sqrt {x^2-2} +x}\right)=\lim_{x \to \infty} \left( \frac{\cancel{x^2}-2-\cancel{x^2}}{\sqrt {x^2-2} +x}\right)=\lim_{x \to \infty} \left( \frac{-2}{\infty}\right)=0$

[aifC]

Зад 7)
[tex]y(x) = sin(x)[/tex] бледо розов цвят ;
[tex]g(x) = 2sin(x)[/tex] лилав ;
[tex]h(x) = sin(2x)[/tex] зелен ;

[aifC]

Зад 8)

а) [tex]arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \Rightarrow sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} , -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} ;[/tex]
б) [tex]arctg(-\sqrt{3}) = - arctg(\sqrt{3}) = tg(x) = \sqrt{3} , - \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = - \frac{\pi}{3};[/tex]

в) [tex]cos(arccotg(1)) = \frac{1\sqrt{1 + 1^{2}}}{1 + 1^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};[/tex]

г) [tex]sin(arctg\sqrt{3} + arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) = (\frac{\sqrt{3}\sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}}}{1 + (\sqrt{3}^{2})})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}}}{1 + (\sqrt{3}^{2})})\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = 1;[/tex]

д) [tex]arctg(\frac{1}{3}) = 0.322 + n . \pi = (0.102 + n).\pi[/tex] Където [tex](n = 0, +/-1,2,3.....);[/tex]

[KOPMOPAH]

Тъй като изпитът в неделя наближава, трябва да продължим.
Задачите $9.7$ - $9.9$ се решават по един и същ начин - изваждаш в числителя и знаменателя най-високата степен на $x$, съкращаваш и гледаш какво се получава. Без да се решават, смело може да се каже, че ако най-високите степените в числителя и знаменателя са равни, границата е отношението на коефициентите пред тях, ако в знаменателя е по-високата степен - границата е $0$, а ако в числителя - съответно $\infty$ или $-\infty$, в зависимост от това към какво се стреми $x$.
$9.7$
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^4-3x^2-x}{1-2x-2x^4}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^4(4-\frac 3{x^2}-\frac 2{x^3})}{x^4(\frac 1{x^4}-\frac 2{x^3}-2)}=\lim_{x \to \infty} \frac{\cancel{x^4}(4-\frac 3{x^2}-\frac 2{x^3})}{\cancel{x^4}(\frac 1{x^4}-\frac 2{x^3}-2)}= \frac{4-0-0}{0-0-2}=-2$
$9.8$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x^3+2x-3}=\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^3(-1+\frac 2{x^2}-\frac 3{x^3}}=\lim_{x \to -\infty} \frac{\cancel{x}}{x^{\cancel{3}2}(-1+\frac 2{x^2}-\frac 3{x^3})}=\frac 1{\infty(-1+0-0)}=0$
$9.9$ се решава по същия начин и се получава $\infty$ в числителя.
$9.10$ $\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x}{x^2-1}-\frac{x^3}{3x^2+9x+1}-2 \arcsin \frac 1x\right)=\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x}{x^2-1}\right)-\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x^3}{3x^2+9x+1}\right)-\lim_{x \to \infty}\left(2 \arcsin \frac 1x\right)=\\=0-\infty-0=-\infty$
$9.11$ $\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x^2}{x+2}\right)=\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x^2(x+2)-x^2(x-1)}{(x-1)(x+2)}\right)=\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x^3+2x^2-x^3+x^2)}{x^2+x-2}\right)=\lim_{x \to \infty}\left( \frac{3x^2}{x^2+x-2}\right)=\cdots=3$

[TonyNik]

9) Зад
9.1)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x-3} = \frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{(x+1)} = \frac{3}{4}[/tex];

9.2)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}+2x-3}{3-x} - дивергира[/tex];

9.3)[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \frac{(x^{2}-1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2x-2} = \frac{(x+1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}[/tex]
9.4)[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin(3x)}{sin(x)cos(3x)} = \frac{cos(3x)3}{cos(x)cos(3x)-3sin(3x)sin(x)} = 3;[/tex]

Имам въпрос относно четвъртата подточка. Преди около час я реших, защото е част от курсовата ми работа и виждам леки несъответствия между решенията ни.
Аз съм я решил по следния начин:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin 3x}{sin x*cos 3x}=\lim_{x \to 0}\frac{tg3x}{sinx}=[\frac{0}{0}][/tex] След което приложих правилото на Лопитал и получих: [tex]\lim_{x \to 0}\frac{1}{cos x*cosx^{2} 3x}=\frac{1}{1*1}=1[/tex]
Коя е формулата по която си преобразувал/а, за да си сверя?

[aifC]

[tex]\frac{cos(3x)3}{cos(x)cos(3x)-3sin(3x)sin(x)} = \frac{cos(3.0)3}{cos(0)cos(3.0)-3sin(3.0)sin(0)} = 3;[/tex]

Интересното е че и аз използвам Лопитал.

[TonyNik]

Хммм ето я и грешката ми...смятам tg3x като проста функция....
Благодаря!!!

[TonyNik]

9) Зад
9.1)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x-3} = \frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{(x+1)} = \frac{3}{4}[/tex];

9.2)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}+2x-3}{3-x} - дивергира[/tex];

9.3)[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \frac{(x^{2}-1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2x-2} = \frac{(x+1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}[/tex]
9.4)[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin(3x)}{sin(x)cos(3x)} = \frac{cos(3x)3}{cos(x)cos(3x)-3sin(3x)sin(x)} = 3;[/tex]

Здравей, имам въпрос относно първата подточка, нещо ми убягва, въпреки че съм я решавал задачата преди. Как се случи разлагането на знаменателя?

[KOPMOPAH]

$9.4$ може и без Лопитал с неговите рискове от неправилно диференциране. Едно умножаване в числителя и знаменателя с $3x$ води до познатото $\frac {\sin x}x$

[Петър Евгениев]

9) Зад
9.1)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x-3} = \frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x}{(x+1)} = \frac{3}{4}[/tex];

9.2)[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}+2x-3}{3-x} - дивергира[/tex];

9.3)[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \frac{(x^{2}-1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2x-2} = \frac{(x+1)(\sqrt{2x+3})+\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}[/tex]
9.4)[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin(3x)}{sin(x)cos(3x)} = \frac{cos(3x)3}{cos(x)cos(3x)-3sin(3x)sin(x)} = 3;[/tex]

Здравей, имам въпрос относно първата подточка, нещо ми убягва, въпреки че съм я решавал задачата преди. Как се случи разлагането на знаменателя?

[tex]x^{2}-2x-3[/tex], корените на квадратния тричлен са [tex]x_{1}=-1 x_{2}=3[/tex]
[tex]a^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\Rightarrow x^{2}-2x-3=1(x-(-1))(x-3)=(x+1)(x-3)[/tex]

[ptj]

Ако се чудиш как или защо се разлага [tex]x^2-2x-3[/tex] oпределено знанията ти не са за ВУЗ.

Може да се разложи :
1. )С групиране
2.)С формулите за корени на квадратно уравнение
3.)Със система за корените посредством формули на Виет
4.)С теоремата за нули на полином

[Гост]

Може ли да решите задачата

[Semiherhan5]

Може ли да решите задачата 1

[KOPMOPAH]

$$\lim_{x \to \infty}\frac{ax-bx^{a}+x^{a+1}}{2bx^{a}+x+1}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^{a+1}\left(\frac{ax}{x^{a+1}}-\frac{bx^{a}}{x^{a+1}}+1\right)}{x^{a}\left(\frac{2bx^{a}}{x^{a}}+\frac x{x^{a}}+\frac 1{x^{a}}\right)}=\frac{x^{a+1}\left(0-0+1\right)}{x^{a}\left(2b+0+0\right)}=\infty $$
$$\lim_{x \to -2}\frac{x^2+5x+6}{4-x^2}=\lim_{x \to -2}\frac{\cancel{(x+2)}(x+3)}{(2-x)\cancel{(2+x)}}=\cdots$$
За в) и г) прилагаш правилото на Лопитал
$$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{\frac 1{2\sqrt{x+1}}}{1}=\lim_{x \to 3}\frac 1{2\sqrt{x+1}}=\cdots$$
$$\lim_{x \to +\infty}\frac{e^{3x}}{a+x^2}=\lim_{x \to +\infty}\frac{3e^{3x}}{2x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{9e^{3x}}{2}=\frac {\infty}{2}=\cdots$$

[Semiherhan5]

Може ли да решите задача 3 и 4?
Благодаря!

[Гост]

Здравейте, може ли помощ с тези задачи, които са ми за домашно?