Диференциали

[Parasyte]

Може ли помощ със задачите?

[aifC]

A:
[tex]f_{1}(x) = 2x - x^{3}sin(x) + \frac{2^{x}}{x^{2}} \Rightarrow f'_{1} = -3x^{2}sin(x) + \frac{ln(2) \cdot x^{2}2^{x}-2x2^{x}}{x^{4}} - cos(x)x^{3}+2 = -3x^{2}sin(x) - x^{3}cos(x) - \frac{2^{x+1}}{x^{3}} + \frac{ln(2)2^{x}}{x^{2}} +2= - \frac{3x^{5}sin(x)+x^{6}cos(x) + (2-ln(2)x)2^{x}-2x^{3}}{x^{3}};[/tex]

[tex]f_{2}(y) = 2xtg(y)-y^{3}arcsin(x)+\frac{2^{x}}{y^{2}} \Rightarrow f'_{2} = 2tg(y) - \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}y^{3} + \frac{ln(2)2^{x}}{y^{2}} = \frac{ln(2)2^{x}}{y^{2}} - \frac{y^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} + 2tg(y);[/tex]

[tex]f_{3}(x) = arcsin(\sqrt{2x^{2}-1}) \Rightarrow f'_{3} = \frac{\frac{1}{2}(2x^{2}-1)^{\frac{1}{2}-1}(2x^{2}-1)}{\sqrt{2-2x^{2}}} = \frac{2 \cdot 2x+0}{2\sqrt{2-2x^{2}}\sqrt{2x^{2}-1}} = \frac{2x}{\sqrt{2-2x^{2}}\sqrt{2x^{2}-1}};[/tex]

Б:
[tex]f_{1}(x) = \frac{1}{6}x^{4} - sin(2x - \frac{\pi}{6}) \Rightarrow f''_{1}(x),f'''_{1}(x)=? f''_{1}(x) = \frac{4x^{3}}{6} - cos \left(2x - \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left(2x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2x^{3}}{3} - 2cos \left(2x - \frac{\pi}{6} \right); f'''_{1}x = \frac{2x^{3}}{3} - 2cos \left(2x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2 \cdot 3x^{2}}{3} -2 \left(sin(2x - \frac{\pi}{6}) \right) \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 4sin \left(\frac{\pi}{6} \right)+2x^{2};[/tex]

[tex]f_{2}(x) = xsin(x); f''_{2}(x),f'''_{2}(x)=? f''_{2}(x) = xsins(x) = 1sin(x)+cos(x)x = sin(x)+xcos(x); \Rightarrow f'''_{2}(x) = sin(x)+xcos(x) = 1cos(x)+cos(x)+(-sin(x))x = 2cos(x)-xsin(x);[/tex]

[KOPMOPAH]

Откога производните станаха диференциали? На някого сигурно му звучи много по-нàучно

[Добромир Глухаров]

Само за информация на незнаещите: производната на $f(x)$ означаваме с $f'(x)$, а диференциалът (пак на $f(x)$) е $df(x)=f'(x)dx$, където $dx$ е някакво малко изменение на независимата променлива $x$.