Граници и производни

[TonyNik]

Здравейте, приятели!
Изникнаха ми 2 въпроса около някои задачи.
Първият е:
[tex]\lim_{x \to \infty}(1-1/(х+3))^{х}[/tex] как варира степента при 1/х+3, след като имаме основната граница [tex]\lim_{x \to \infty}(1-k/х)^{х}=e^{k}[/tex]
Вторият е:
Каква ще е производната на:
[tex]e^{3x}[/tex] Аз лично смятам, че трябва да се разгледа като сложна функция и ще се получи [tex]3e^{3x}[/tex] , но видях едни решение малко по-различно от моето и исках някой по-компетентен да помогне. Решението беше следното: [tex](e^{3x})'=3x.e^{3x}[/tex] което не виждам как се е получило. Ако го е смятал като х на степен, то би следвало да е [tex](e^{3x})'=3x.e^{3x-1}[/tex]
Общо взето се чудя дали [tex](e^{3x})'[/tex] е еквивалентно с [tex](e^{x})'[/tex] , та да стане [tex]e^{3x}[/tex] както [tex](e^{x})'=e^{x}[/tex]

[aifC]

Производната:
[tex](e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3x = 3 \cdot 1e^{3x} = 3e^{3x};[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{k}{x}\right)^x=e^{-k}$

$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+3}\right)^x=\lim_{x+3\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+3}\right)^{x+3-3}=\lim_{u\to\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right)^{u-3}$ - вместо $x+3$ пишем $u$.

$\lim_{u\to\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right)^{u-3}=\lim_{u\to\infty}\frac{\left(1-\frac{1}{u}\right)^u}{\left(1-\frac{1}{u}\right)^3}=\frac{\lim_{u\to\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right)^u}{\lim_{u\to\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right)^3}=\frac{e^{-1}}{1}=e^{-1}$

[Добромир Глухаров]

Когато имаме за задача да намерим производна на степен, трябва да внимаваме къде участва независимата променлива (аргумента на функцията).

Първи случай (независимата променлива участва само в основата, а степенният показател е константа): $y=(f(x))^a\Rightarrow y'=a(f(x))^{a-1}f'(x)$

Втори случай (независимата променлива участва само в степенния показател, а основата е константа): $y=a^{f(x)}\Rightarrow y'=a^{f(x)}lna.f'(x)$

Трети случай (независимата променлива участва в основата и в степенния показател): $y=[f(x)]^{g(x)}$ - в този случай най-напред логаритмуваме: $lny=g(x)lnf(x);\ \frac{y'}{y}=g'(x)lnf(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)};\ y'=[f(x)]^{g(x)}[g'(x)lnf(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}]$

[TonyNik]

Когато имаме за задача да намерим производна на степен, трябва да внимаваме къде участва независимата променлива (аргумента на функцията).

Първи случай (независимата променлива участва само в основата, а степенният показател е константа): $y=(f(x))^a\Rightarrow y'=a(f(x))^{a-1}f'(x)$

Втори случай (независимата променлива участва само в степенния показател, а основата е константа): $y=a^{f(x)}\Rightarrow y'=a^{f(x)}lna.f'(x)$

Трети случай (независимата променлива участва в основата и в степенния показател): $y=[f(x)]^{g(x)}$ - в този случай най-напред логаритмуваме: $lny=g(x)lnf(x);\ \frac{y'}{y}=g'(x)lnf(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)};\ y'=[f(x)]^{g(x)}[g'(x)lnf(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}]$

Благодаря!!!
Реших тези лесни примерчета за проверка и ако съм разбрал, то би следвало да е вярно:
[tex]y=2^{2x+3} y'=2^{2x+3}.ln2.(2x+3)'=2.2^{2x+3}.ln2 ; y=2x^{2x+3} lny=(2x+3)ln2x; \frac{y'}{y}=2ln2x+(2x+3)ln'2x.(2x)'; \frac{y'}{y}=2ln2x+\frac{2x+3}{x}; y'=2x^{2x+3}(2ln2x+\frac{2x+3}{x})[/tex]
нали?

[Добромир Глухаров]

Точно така! Само нямаше да е лошо основата $2x$ да я беше ограждал в скоби (кръгли) - иначе се получава двусмислица.

[TonyNik]

Благодаря!!!! Изникна ми и друг въпрос... Незнам точно как се намира област на диференцируемост и май даже незнам какво означава..., но имам задача, включваща това в условието.

[Добромир Глухаров]

Област на диференцируемост: стойностите на независимата променлива (аргумента), за които производната съществува.

Например $f(x)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ - $f(x)\exists$ за $x\in(-\infty;+\infty)$, но $f'(x)\exists$ за $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Или още $f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ - $f(x)\exists$ за $x\in[0;+\infty)$, но $f'(x)\exists$ за $x\in(0;+\infty)$