2 задачи от Аналитична геометрия

[undiscloseddesire]

Добър ден, срещам затруднение с решението на следните две задачи по аналитична геометри. Ще съм безкрайно благодарен ако някой ми помогне

1зад. Дадени са точките A(1, 2, −3), B(5, 2, 0), C(3, 2, −2) и D(0, 1, −2). Намерете разстоянието от точка D до равнината ABC

2зад. В равнината са дадени точките A(5, 5) и B(2, 4). Намерете:
а) координатите на точка C от правата l : x − y = 0 така, че [tex]\triangle[/tex]АBC да е правоъгълен с прав ъгъл
при върха C;
б) уравненията на страните на [tex]\triangle[/tex]АBC;
в) острите ъгли и дължините на страните на [tex]\triangle[/tex]ABC.

[aifC]

1.Зад
Първо, намираме уравнението на равнината:

[tex]\mathcal{P} = ax+by+cz+d = 0; \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z}) = (5-1,2-2,0-(-3)) = (4,0,3);[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC} = (C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y},C_{z}-A_{z}) = (3-1,2-2,-2-(-3)) = (2,0,1); \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (a,b,c);[/tex]

[tex]a = (B_{y}-A_{y})(C_{z}-A_{z})-(C_{y}-A_{y})(B_{z}-A_{z}) = (2-2)(-2-(-3)) - (2-2)(0-(-3)) = 0;[/tex]

[tex]b = (B_{z}-A_{z})(C_{x}-A-{x})-(C_{z}-A_{z})(B_{x}-A_{x}) = (0-(-3))(3-1)-(-2-(-3))(5-1) = 2;[/tex]

[tex]c = (B_{x}-A_{x})(C_{y}-A_{y})-(C_{x}-A_{x})(B_{y}-A_{y}) = (5-1)(2-2)-(3-1)(2-2) = 0;[/tex]

[tex]d = -(aA_{x}+bA_{y}+cA_{z}) = -(0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot (-3)) = -4; \Rightarrow[/tex]

Така получихме уравнението на равнината:

[tex]\mathcal{P} = 0x + 2y + 0z - 4;[/tex]

Сега вече намираме разстоянието от точка [tex]D[/tex] равнината [tex]\mathcal{P}:[/tex]

[tex]d(D,\mathcal{P}) = \frac{(ax_{D}+by_{D}+cz_{D})}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} = \frac{0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-2)}{\sqrt{0+4+0}} = \frac{2}{2} = 1;[/tex]

[undiscloseddesire]

Благодаря ви много!