Отново граница :)

[aifC]

[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{x^{x^{x^{x}}}} - x^{x^{x^{x^{x}}}}}{(1-x)^{5}} = ?[/tex]

[Добромир Глухаров]

Не разбирам - нулата в числител не си ли е баш нула, като разлика от две идентични суперстепени?

[aifC]

Има дилема, утре ще представя решение, но си помислих че и на някой друг може да му е интересно.

[Добромир Глухаров]

Значи границата може да бъде и минус безкрайност, ако приемем първата суперстепен за $x^{x^4}$?

По-точно вляво от единицата - плюс безкрайност, а вдясно - минус безкрайност и границата не съществува.

[aifC]

Нека [tex]u = x+1 \Rightarrow x = u+1; x\rightarrow 1, u \rightarrow 0[/tex]

[tex]L = -\lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}}} - (u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}} }{u^{5}}[/tex]

[tex]-\lim_{u \to 0}(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}} - (u+1)^{(u+1)^{(u+1)}} }-1}{u^{5}}[/tex]

[tex]-\lim_{u \to 0}\frac{e^{ln(u+1)[(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}} - (u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}]}-1}{ln(u+1)[(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}} - (u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}]} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{ln(u+1)}{u} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}} - (u+1)^{(u+1)^{(u+1)}} }{u^{4}}=[/tex]

[tex]-(1)(1)\lim_{u \to 0}(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}-(u+1)^{(u+1)}} -1 }{u^{4}} =[/tex]

[tex]-(1)\lim_{u \to 0}\frac{e^{ln(u+1)[(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}-(u+1)^{(u+1)}]}-1}{ln(u+1)[(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}-(u+1)^{(u+1)}]} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{ln(u+1)}{u} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}} - (u+1)^{(u+1)} }{u^{3}} =[/tex]

[tex]-(1)(1)\lim_{u \to 0}(u+1)^{(u+1)} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}-(u+1)} -1 }{u^{3}} =[/tex]

[tex]-(1)\lim_{u \to 0}\frac{e^{ln(u+1)[(u+1)^{(u+1)}-(u+1)]}-1}{ln(u+1)[(u+1)^{(u+1)}-(u+1)]} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{ln(u+1)}{u} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{(u+1)^{(u+1)} - (u+1)}{u^{2}} =[/tex]

[tex]-(1)(1)\lim_{u \to 0}(u+1) \cdot \lim_{u \to 0} \frac{(u+1)^{(u+1) - 1} - 1}{u^{2}} = -(1)\lim_{u \to 0}\frac{e^{uln(u+1)}-1}{uln(u+1)} \cdot \lim_{u \to 0}\frac{ln(u+1)}{u} = -(1)(1) = -1 \Rightarrow L = -1;[/tex]

[kmitov]

Ако $u=x+1$, то $x=u-1$. Освен това в условието двата израза в числителя са еднакви, а в решението в единия има с една степен повече. Кое е вярното?

[aifC]

Може да съм добавил една степе в повече от недоглеждане, вярното е че и двете са еднакви.

[kmitov]

Ми като и двете са еднакви поправи си решението

[aifC]

След преглеждане установих че само [tex]u=x-1, x=u+1[/tex] ми е грешката, другото мисля е вярно, Митов реши я да сравниме ?

[kmitov]

Не знам кое е еднакво и кое е грешно, но в условието е $x^{x^{x^{x^x}}}- x^{x^{x^{x^x}}}$, и като положиш $x=u+1$, в решението става
$(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}}}-(u+1)^{(u+1)^{(u+1)^{(u+1)}}}$. Поправи си или условието или решението.

[man111]

Using [tex]x^r=\bigg[1+(x-1)\bigg]^r\approx r(x-1),x \rightarrow 1[/tex]

So [tex]x^{x^{x^{x^{x}}}}-x^{x^{x^{x}}}\approx (x-1)\bigg[x^{x^{x^{x}}}-x^{x^{x}}\bigg][/tex]

[tex]\approx(x-1)^2\bigg[x^{x^{x}}-x^{x}\bigg]\approx (x-1)^3\bigg[x^{x}-x\bigg][/tex]

[tex]\approx (x-1)^4\bigg[x-1\bigg]\approx (x-1)^5[/tex]

So [tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{x^{x^{x^{x}}}}-x^{x^{x^{x}}}}{(1-x)^5}=-1.[/tex]