Локални екстремуми и инфлексни точки

[хава]

Да се определят
-интервалите на растене,намаляване и локалните екстремуми (минимум и максимум)
-интервалите на изпъкналост,вдлъбнатости инфлексните точки
-темпове на изменение
На функциятана 1 променлива:

y=x^{4}-18x^{2}+9

[S.B.]

y=f(x) = [tex]x^{4}[/tex] - 18[tex]x^{2}[/tex] + 9
Растене и намаляване: ako y' > 0 функцията расте, ako y' < 0 функцията намалява
y'=4[tex]x^{3}[/tex] - 36x = 4x(x + 3)(x - 3)>0 След решаване на неравенството получавам:
x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -3) и x[tex]\in[/tex]( 0 , 3) - функцията намалява
x[tex]\in[/tex](-3,0) и x[tex]\in[/tex](3, +[tex]\infty[/tex]) - функцията расте
Ако y'=0 то в тази точка има екстремум:От 4[tex]x^{3}[/tex] - 36x = 0 получавам,че за x=0,x=-3 и x=3 съществува екстремум
y"= 12[tex]x^{2}[/tex] - 36
Ако f"(х)>0 - съществува минимум,ако f"(x) < 0 - съществува максимум
f"(-3)=72>0 и f"(3)=72>0 [tex]\rightarrow[/tex] за х=-3 и х=3 съществува минимум,f"(0)= -36 [tex]\rightarrow[/tex] за х=0 има максимум
[tex]y_{min }[/tex] = f(-3) = -72; [tex]y_{min }[/tex] = f(3) = -72 ; [tex]y_{max }[/tex] = f(0)= 9 ;
Инфлексни точки,изпъкналост,вдлъбнатост: в точките ,за които y"=0 функцията има инфлексна точка,ако y">0 -изпъкнала,ако y"<0 -вдлъбната: 12[tex]x^{2}[/tex] - 36 = 0 [tex]\rightarrow[/tex] за х = -[tex]\sqrt{3}[/tex] и за х=[tex]\sqrt{3}[/tex] ще има инфлексни точки:
[tex]y_{infl }[/tex]f(-[tex]\sqrt{3}[/tex])= - 36 и [tex]y_{infl }[/tex] = f([tex]\sqrt{3}[/tex]) = -36
Нека y">0 [tex]\rightarrow[/tex]12[tex]x^{2}[/tex]- 36 = 12(х + [tex]\sqrt{3}[/tex])(х - [tex]\sqrt{3}[/tex]) > 0 От решението на неравенството получавам:
х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -[tex]\sqrt{3}[/tex]) и х[tex]\in[/tex]([tex]\sqrt{3}[/tex] , +[tex]\infty[/tex]) графиката на функцията е изпъкнала , а за х[tex]\in[/tex] (- [tex]\sqrt{3}[/tex] , +[tex]\sqrt{3}[/tex]) - вдлъбната
функцията е четна понеже f(-x) = f(x) и е симетрична относно ординатата;Има един максимум ,два минимума ,които са симетрични и две инфлексни точки също симетрични относно ординатата.

[dpp]

Здравейте,

помогнете моля вииии!

1.За функцията f(x)=2x^{3} +3x^{2} -12x да се определят:
а) интервалите на растене и намаляване и локалните екстремуми;
б) интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки.

2. За функцията z=x^{2} + xy+ y^{2}+ x-y +5 да се намерят:
а) градиентът в т.N (1;-2) ;
б) локалните екстремуми.

Блгодаря предварително!

[S.B.]

Зад.1:
f(x) = 2[tex]x^{3}[/tex] + 3[tex]x^{2}[/tex] - 12x
f'(x) = 6[tex]x^{2}[/tex] + 6x - 12 За f'(x) > 0 функцията расте,за f'(x)< 0 - намалява и за f'(x) = 0 съществува екстремум:
6[tex]x^{2}[/tex] + 6х - 12[tex]\ge[/tex]0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 6(х - 1)(х + 2)[tex]\ge[/tex]0 и получаваме:
х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-2) и х[tex]\in[/tex](1 ; +[tex]\infty[/tex]) функцията е растяща,а за х[tex]\in[/tex](-2 ; 1) - намаляваща; за х= -2 и х = 1 съществува екстремум;
f"(x) = 12x +6 ;
f"(-2) = -24 + 6 = -18<0 [tex]\Rightarrow[/tex] за х=-2 има максимум и [tex]f_{max }[/tex] = f(-2) = 20
f''(1) = 12 + 6 =18> 0 [tex]\Rightarrow[/tex] за х = 1 има минимум и [tex]f_{min }[/tex] = f(1) = -7
Изпъкналост и вдлъбнатост: Ако f"(x) > 0 - изпъкналост , f''(x) < 0 - вдлъбнатост ,f''(x)=0 има инфлексна точка:
12х + 6 [tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-[tex]\frac{1}{2}[/tex]) - вдлъбнатост; х[tex]\in[/tex](-[tex]\frac{1}{2}[/tex];+ [tex]\infty[/tex]) - изпъкналост
за х = -[tex]\frac{1}{2}[/tex] съществува инфлексна точка като [tex]f_{inf }[/tex] = f(-[tex]\frac{1}{2}[/tex]) = 6[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[dpp]

хиляди благодарности

[reisen.jana]

Здравейте трябва ми помощ със следната задача.
Y=x^{4}-6x^{2}+4
Има две инфлексни точки -1; +1и не знам Как да продължа нататък

[S.B.]

Здравейте трябва ми помощ със следната задача.
$Y=x^{4}-6x^{2}+4$
Има две инфлексни точки -1; +1и не знам Как да продължа нататък

Не мога да разбера нито какво сте решавали нито до къде сте стигнали,за това започвам от самото начало:
[tex]y = f(x) = x^{4} - 6x^{2} + 4[/tex]
$f'(x) = 4x^{3} - 12x\ge 0 \Leftrightarrow 4x(x^{2} - 3) \ge 0 \Leftrightarrow 4x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\ge 0$
За $x \in (- \infty ; -\sqrt{3}) $ и $x \in ( 0 ; \sqrt{3})$ $f'(x) < 0 \Rightarrow$ функцията намалява
За $x \in (- \sqrt{3} ; 0)$ и $x \in (\sqrt{3} ; + \infty)$ $f'(x) > 0 \Rightarrow$ функцията расте
За $ x = 0 $ и $ x = \pm \sqrt{3}, f'(x) = 0 $ и функцията притежава екстремуми

$f''(x) = 12x^{2} - 12; f''(0) = - 12 < 0 \Rightarrow$ функцията притежава максимум ,$f_{max } = f(0) =4$
$f''(\pm\sqrt{3}) = 24 >0 \Rightarrow $ функцията притежава 2 минимума ,$f_{min } = f(\pm\sqrt{3}) = -5$

$f''(x) = 12x^{2} - 12 \ge 0 \Leftrightarrow 12(x^{2} - 1)\ge 0 \Leftrightarrow 12(x - 1)(x + 1) \ge0$
За $x \in ( - \infty ; - 1)$ и $ x \in (1 ; + \infty) , f''(x) > 0 \Rightarrow$ функцията е изпъкнала
За $x \in ( - 1; +1) , f''(x) < 0 \Rightarrow $ функцията е вдлъбната
За $x = \pm 1, f''(x) = 0 \Rightarrow $ съществуват 2 инфлексни точки ,$f_{inf } = f(\pm 1) = -1$

[Гост]

Колко инфлексни и колко екстремума има 9x-x*3

[KOPMOPAH]

Колко инфлексни и колко екстремума има 9x-x*3

Колкото корена имат съответно уравненията $f''(x)=0$ и $f'(x)=0$ при $f''(x)\ne 0$

[Гост]

Здравейте,
Имам следната задача, със която за съжаление не мога да се справя.
Надявам се, някой да има възможност да ми помогне.
Предварително благодаря,

За функцията z=x^{2} + xy+ y^{2}+ x-y +5 да се намерят:

а) градиентът в т.N (1;-2) ;
б) локалните екстремуми.